Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.
— Так, — сказал Илюша. — Действительно, если продолжить табличку и иксу дать значение «десять», то другой множитель будет равен восьми и произведение пойдет на убыль в обратном порядке. Действительно, максимум!
— А теперь давай начертим график нашего уравнения:
у = 18х — x2
— 381 —
Ты видишь, что эта кривая (а это парабола!) как раз проходит через наивысшую точку, когда икс равен девяти. Что означает с геометрической точки зрения то обстоятельство, что для икса, равного девяти, игрек-штрих равен нулю? Дело в том, что игрек-штрих показывает, как меняется угловой коэффициент касательной к параболе. А ты, наверно, помнишь, что этот коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной по отношению к положительному направлению оси абсцисс? Ты, наверное, помнишь и то, что когда кривая достигает максимума, то касательная, естественно, располагается…
— Параллельно оси иксов, то есть горизонтально! — подхватил Илюша.
— Верно! Ну, а теперь скажи мне, какой она в таком случае образует угол с осью абсцисс?
— Никакого угла она не образует!
— Никакого?.. — переспросил Радикс. — Таким образом, если тебя кто-нибудь попросит сказать, тепло ли сегодня на улице, то ты посмотришь на градусник за окном, увидишь, нуль градусов, и скажешь, что сегодня никакой температуры не наблюдается. Так я тебя понял?
— Нет, — сказал Илюша, смутившись, — конечно, так сказать нельзя. Тут я должен сказать, что угол этот заключает в себе нуль градусов.
— Как раз! — отвечал Радикс. — А теперь ответь мне, чему равен тангенс нуля градусов?
— Нулю, конечно!
— Ну, так вот игрек-штрих и дает этот самый нуль. Вот как производится изыскание максимумов или минимумов! Это одна из самых важных задач в дифференциальном исчислении. Этим делом очень много и плодотворно занимались Ферма и Паскаль. Впрочем, задача, которую мы сейчас разбирали, была решена еще греческим математиком Никомахом во втором веке нашей эры.
— А на самом деле, когда математики ищут максимум, они тоже так поступают, как ты мне сейчас показывал, или ты это только для меня придумал?
— Так делали в старое время, во времена Ферма, например.
— 382 —
А сейчас это делают немножко не так. Смысл действий, впрочем, один и тот же.
— А как это теперь делается?
— Ну что ж, давай попробуем одолеть и эту премудрость. Если мы возьмем ту же самую функцию да еще припомним то, как мы рассуждали по вопросу о превращении секущей в касательную в предыдущей схолии, то справиться с этим будет не так уж трудно. Для этого нам необходимо, как ты, вероятно, помнишь, исследовать параболу с точки зрения изменения… Ну-ка, скажи мне: изменения чего?
— Я думаю, — довольно бойко отвечал Илюша, — что речь пойдет об изменении скорости, с которой растет функция.
— Правильно. Итак, приступим к изучению изменения скорости изменения функции. Для этого дадим независимой переменной, то есть иксу, некое приращение, которое мы обозначим через Δх. Здесь Δ — не множитель, а заменяющая слово «приращение» прописная греческая буква «дельта», которая читается, как наше «Д». А читается формула просто: «дельта икс». Приращение это не очень большое, не очень и маленькое, но, в общем, конечное. Теперь поскольку икс, независимая переменная, получил некое приращение (ну, допустим, что икс у нас равнялся двум, а теперь будет два и нуль-нуль-три после запятой), то, так как игрек есть переменная…