— 396 —
a стены расписаны самыми удивительными узорами. Точная правильность их указывала, что это не просто фантастические узоры, но и тонко геометрические. Затем они вошли в большую комнату с низкими кругловатыми сводами, где стояло нечто вроде громадного мольберта, на каких живописцы пишут свои картины, а на нем большая доска.
— Вот, — сказал Мнимий, — сейчас мы с товарищами будем здесь делать Златоиссеченную Звезду, которая повергает неправду. Дело в том, что мы великие друзья с синусами и косинусами…
— Да, вы мне об этом уже говорили, — сказал Илюша.
— А сейчас вы увидите, молодой человек, какой смысл имеет эта великая дружба. Мы сейчас попросим кого-нибудь из наших друзей нам это продемонстрировать.
Немедленно откуда-то появился человечек, ужасно похожий на Мнимия Радиксовича. Он весело раскланялся, взял мел, начертил на доске оси координат и снова очень любезно улыбнулся.
Мнимий сказал:
— Хорошо известные вам оси прямоугольных координат. Ясно?
— 397 —
— Ясно, — отвечал Илюша.
— С маленькой разницей. То есть горизонтальную ось, ту, которая была у вас осью иксов, мы теперь будем называть действительной осью. А вертикальную, то есть ось игреков, — мнимой осью. Вы, кажется, уже встречались с одной мнимой осью? Вот вам и другая.
Новый знакомец Илюши, маленький комплексный человечек, подошел к осям, ухватился обеими руками за ту точку, где оси пересекались (то есть за так называемое начало координат), и ловко вытянулся. Носки его туфелек выгнулись, а сам он тут же превратился в стрелку. Немедленно от конца этой стрелки, то есть от его сапожков, поползли перпендикулярно к осям какие-то, как показалось Илюше, маленькие мушки. Но когда он пригляделся, то увидел, что это просто точки, из которых образовались две пунктирные линии, перпендикулярные к осям. Тогда на отрезках осей от их пересечения, то есть от нуля, до пересечения осей с этими пунктирными перпендикулярами тоже образовались две стрелочки: одна глядела направо, а другая вверх.
— Это я! — сказал комплексный человечек Наклонная Стрелка.
— А это я! — ответила Горизонтальная Стрелка.
— И я! — отозвалась Вертикальная Стрелка.
— Понятно? — спросил Мнимий Радиксович.
Илюша поглядел на стрелки и не совсем уверенно сказал:
— Маленькие стрелки на осях — ведь это его проекции?
Мнимая ось.
Действительная ось.
Стрелка ОА есть геометрическая сумма стрелок ОВ и ОС, которая получается по правилу сложения сил в механике. Стрелка ОА есть (a + bi); стрелка ОВ есть а; стрелка ОС есть bi.
— Точно! — ответил Радикс.
— А кроме того, это похоже на параллелограмм сил. Выходит, что Наклонная Стрелка есть сумма тех стрелок, которые на осях?
— Или?.. — важно спросил Мнимий.
Илюша молчал.
— Если, — сказал Мнимий, — Наклонная Стрелка является геометрической суммой осевых стрелок, то, следовательно, эти стрелки по отношению к Наклонной Стрелке суть…
— 398 —
— …ее слагаемые, — отвечал Илюша. — Пожалуй, лучше сказать: ее составляющие.
— Вот это да! — отвечал Мнимий. — Так и запишем. Итак, каждый комплексный человечек может быть рассматриваем как сумма вещественной составляющей и мнимой, что нам давно известно из формулы:
a + bi
А теперь вы видите, как это можно изобразить геометрически.
Далее мы попросим нашего друга комплексного Вектора уменьшиться так, чтобы он был ростом в одну единицу.
Вектор-Наклонная-Стрелка немедленно сделался покороче.
— Как раз! — сказал Мнимий. — Ровно единица!
Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.
— Ну-с, — сказал Мнимий Илюше, — вы ничего не замечаете?
— Не знаю, — отвечал Илюша.
Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.
— А теперь? — спросил Мнимий.
Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.
— Не узнаете? — спросил Мнимий.
— Узнаю как будто, — сказал Илюша. — Это синус и косинус.