— Это, — пояснил Радикс, — тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент — восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.
— Совершенно справедливо! — отвечал Мнимий. — Преобразования подобия — это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед-Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?
— Ну да, помню, — отвечал Илюша. — А что?
— Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?
— Как так?
— 406 —
— Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель — превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.
— Вот как?.. — задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. — А если наоборот, из мыши сделать льва?
— Вон чего захотели! — засмеялся Мнимий. — Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она… сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие — вещь совсем не простая… Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.
Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.
— Позвольте, — воскликнул Илюша, — да ведь это наша Красная Звезда!
— Она же и Золотая, — улыбаясь, ответил Мнимий.
— Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?
— Для этого, — ответил Мнимий, — у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.
Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.
— Если мы возьмем одну из прямых, — начал Мнимий, — составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE, то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у, а отрезок KF буквой z. Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA, FA, FE, КЕ, ID, IС, … , и все они
— 407 —
равны у. Совершенно так же FG, KI, IH… равны z. Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?
— Ясно, — отвечал Илюша.
— Следовательно, в этом углу ровно тридцать шесть градусов. Другие два угла треугольника равны друг другу и, следовательно, будут по семьдесят два градуса, то есть вдвое больше угла при вершине А. Стало быть, величины у и z суть боковая сторона и основание равнобедренного треугольника, у которого угол при основании вдвое больше угла при вершине. Теперь мы займемся треугольником BFA. Угол при вершине F нам известен: он равен семидесяти двум градусам. Угол при вершине В по тем же основаниям, что и угол A в треугольнике GAF, равен тридцати шести градусам. Угол треугольника BFA при вершине А равен семидесяти двум градусам, ибо это вписанный угол и опирается на дугу в дне пятых окружности. Ясно, что и этот треугольник тоже равнобедренный, а в силу равенства углов подобен предыдущему. Сторона BF равна (z + у), а следовательно, сторона АВ тоже равна (z + y), а это ведь сторона выпуклого пятиугольника. Теперь возьмем третий треугольник — ABD. Угол при вершине D равен снова тридцати шести градусам. Треугольник этот тоже равнобедренный и подобен двум предыдущим. Его боковая сторона равна (2y + z), основание равно (у + z). Из этих величин и подобия треугольников мы получаем теперь следующие пропорции: