«Правильно! — решил про себя Илюша. — Просто он заменил цифры алгебраическими обозначениями. Тут в конце стоят qn-2 и qn-1 — в том смысле, что прогрессию по тому же правилу можно тянуть вправо до любого члена. А почему членов у нас n, а старший показатель q не n, а (n-1)? Ах да! Ведь впереди есть еще единица, то есть q0. Значит, один и еще (n-1) — вот и выйдет опять ровно n. Ясно! Значит, в сумме всякой геометрической прогрессии Можно взять первый член за скобку, а в скобках останутся степени знаменателя».
Человечек Знаменатель глянул мельком на Илюшу и, заметив, что тот все понял, даже не счел нужным кивнуть ему.
Затем он поднял свой длиннейший указательный палец правой руки вверх, покачал им торжественно, как бы приглашая Илюшу отнестись повнимательнее к тому, что он сейчас ему покажет. После этого он взял три первых члена из скобок, поставил их перед Илюшей и снова заключил в скобки.
(1 + q + q2)
Затем Знаменатель показал Илюше на эту тройку знаков и выразил на своем лице некое недоумение, как бы приглашая
— 193 —
Илюшу объяснить: что он перед ним поставил? Илюша посмотрел на него, потом на троих человечков и ничего не мог придумать. Знаменатель недовольно нахмурился, сделал знак человечкам, и тогда первый и третий поменялись местами. Знаменатель снова сделал недоуменную мину и опять показал Илюше на тройку приятелей. Илюша посмотрел. Перед ним стояло:
(q2 + q + 1)
Это было то же самое, только два члена выражения поменялись местами.
«Э! — подумал Илюша. — Да это просто неполный квадрат суммы!»
Не успел он это подумать, как вдруг откуда-то раздалось ядовитое хихиканье, и слишком хорошо ему известный голосок вездесущего Уникурсала Уникурсалыча произнес очень отчетливо:
— Ах, какой догадливый мальчик! А до того, как переставили, это, значит, не было неполным квадратом суммы? Вон как!
Илюша густо покраснел, хотел было что-то ответить, но не мог придумать ничего дельного, а человечек Знаменатель радостно закивал ему в знак согласия, немедленно вычел из самого себя единицу, залез в скобки, и перед Илюшей появилось:
(q2 + q + 1) (q — 1) = ?
«Неполный квадрат суммы, — подумал Илюша, — если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?»
Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: «Сейчас узнаешь!» — и перед мальчиком появилось:
(q2 + q + 1) (q — 1) = q3 — 1.
«Ну конечно!» — подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:
(q3 + q2 + q + 1) (q — 1) = q4 — 1.
«Ишь ты! — подумал Илюша. — Как же так выходит?» Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. «Действительно, — подумал он, — когда я умножу q3 на q, то выйдет q4; когда умножу 1 на (— 1), то получится —1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов,
— 194 —
кроме первого, я получу q3, q2, q и все будут с плюсом, от умножения на (—1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q3, q2, q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q4 и — 1. Все верно!»
Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:
(q4 + q3 + q2 + q + 1) (q — 1) = q5 — 1.
Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.
А затем человечки стали так:
(qn-1 + qn-2 + … + q4 + q3 + q2 + q + 1) (q — 1) = qn — 1.