«Так, — подумал Илюша. — Тут начинается с qn-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени».
Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.
Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q — 1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:
qn-1 + qn-2 + … + q4 + q3 + q2 + q + 1 = (qn — 1) / (q — 1).
Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:
1+ q + q2+ q3 + q4+…+qn-2+ qn-1 = (qn — 1) / (q — 1).
Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.
Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:
«Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы».
Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра «3». Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:
a1 = 3.
«Так! — подумал Илюша. — Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке».
— 195 —
Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого — к правой, и вышло:
a1(1 + q + q2+ q3 + q4+…+ qn-2+ qn-1 ) = a1 (qn — 1) / (q — 1).
«Обе части он умножил на первый член прогрессии, — подумал Илюша. — Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!»
В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.
Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. «Сумма!» — подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:
«Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!»
И получилось следующее равенство:
S = a1(1+ q + q2+ q3 + q4+…+qn-2+ qn-1 ) = a1 (qn — 1) / (q — 1),
с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:
S = a1 (qn — 1) / (q — 1)
— 196 —
Илюша громко и отчетливо произнес:
— Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.
Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:
S = a1 [qn / (q — 1) — 1 / (q — 1)]
а потом открыл скобки:
S = a1qn / (q — 1) — a1 / (q — 1)
А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.