— 218 —
— Но в результате этого процесса угол ведь станет прямым, — сказал Илюша.
— Ну вот, ты опять за старое! — недовольно промолвил Радикс. — Если поворачивать наклонную, то, конечно, можно повернуть ее на такой угол, чтобы она стала параллельной. Однако и здесь тоже замешана та же бесконечность. И ты легко убедишься в этом, если рассмотришь все промежуточные положения ее. И это очень хорошо понимали греческие ученые времен Архимеда. Если говорить о бесконечном процессе удаления точки по перпендикуляру, то, разбивая этот процесс на бесконечное число последовательных этапов, тем самым вводится и бесконечное число этапов в изменении угла, и мы говорим только о том, что происходит при самом этом процессе; при неограниченном удалении точки по перпендикуляру угол неограниченно приближается к прямому как к своему пределу.
— И никогда его не достигает! — воскликнул Илюша.
— Вот именно!— громко воскликнул удивительный Доктор Непроходимых Узлов, который, оказывается, стоял все время рядом с Илюшей и внимательно слушал. — А в каком это смысле «никогда»? Ты, кажется, говоришь о времени? А известна ли тебе древняя притча про Ахиллеса и черепаху? Не известна? Жаль, жаль! Ну, изволь слушать. Представь себе, что самый быстроногий из ахейцев, герой Троянской войны Ахиллес, и некая безвестная черепаха состязаются в беге. Черепаха находится вначале на расстоянии ста шагов впереди Ахиллеса, а ползет она в десять раз медленнее его. Все очень просто. Когда Ахиллес пробежит указанное расстояние, черепаха успеет проползти еще десять шагов. Когда Ахиллес пробежит эти десять шагов, черепаха окажется еще на один шаг впереди. Когда Ахиллес пробежит этот шаг, то черепаха, очевидно… Ну, ты и сам видишь — процесс бесконечный, а следовательно, как ты это только что сказал, Ахиллес «никогда» но догонит черепаху.
— Как так? — спросил Илюша. — Ясно, что Ахиллесу надо будет пробежать… сколько же это выходит?.. всего сто одиннадцать шагов, чтобы догнать черепаху…
— Твое слово «никогда», видишь ли, нехорошо в этом случае по той причине, — пояснил Радикс, — что на самом дело ты ведь не имеешь в виду времени, а хочешь только сказать, что в разложении процесса на этапы придется иметь дело с бесконечным числом этих этапов. К фактическому осуществлению вращения наклонной, протекающему в конечный промежуток времени, или к движению Ахиллеса это прямого отношения не имеет. Нас здесь интересует не время, а именно последовательные этапы процесса. Их удобнее всего было бы просто нумеровать: первый этап, второй и так далее, вовсе не
— 219 —
упоминая о времени. Если тебе придет в голову разлагать какой-нибудь действительный процесс движения на такого рода этапы, то это будет только воображаемая операция. И при подсчете времени, например, надо будет учесть, что действительное движение вовсе не обязано считаться с этим разложением и может проскочить через все твои этапы за конечный промежуток времени. Конечно, это все не очень простые вещи. Здесь есть над чем подумать, но мы пока ограничимся этим…
— Ограничимся? То есть как это ограничимся? — снова окрысился командор. — Ведь молодой человек сказал же, что переменная величина (помнится, там шла речь об угле) никогда не достигает своего предела…
— Но теперь я буду это понимать в том смысле… — заторопился Илюша.
— Ни в каком смысле это не верно, молодой человек! Вот рассмотри такое движение наклонной. Из ее основания по другую сторону основного отрезка я восстановлю к нему перпендикуляр, а около него построю полуокружности одинакового радиуса, с центрами на этом перпендикуляре: одну по одну сторону от него, а следующую, соседнюю с ней снизу, — по другую, и так змейкой все дальше и дальше. Теперь вообрази себе прямую, которая все время проходит через основание этого перпендикуляра и через меняющую свое положение вторую точку, а та, в свою очередь, пробегает построенную то-