— 224 —
а потом мы пойдем с тобой в гости к двум моим приятелям, которые нас угостят, накормят и напоят чудным кваском. Скажи, пожалуйста: тебе никогда не приходило в голову, для чего применяются в геометрии формулы?
— Чтобы вычислить что-нибудь, ну, например, длину какого-нибудь отрезка или площадь какой-нибудь фигуры…
— Ты говоришь мне о том применении формул в геометрии, с которым тебе до сих пор приходилось иметь дело. Это естественно. Геометрия ведь и родилась из задач по измерению земли, как указывает ее название. Но ведь, кроме размеров фигуры, нас может интересовать и ее форма. Не правда ли?
— Да, конечно.
— А ты никогда не думал, — продолжал его наставник, — нельзя ли с помощью формул определить также вид или форму какой-нибудь линии?
— Не знаю, — ответил Илюша. — Я не совсем понимаю: как это так определить форму? В каком смысле?
— Вот, например, так. Ты, конечно, знаешь, что такое прямая? Попробуй определи мне прямую как геометрическое место.
— Ну, это нетрудно, — отвечал Илюша. — Вот, например, биссектриса. Она прямая, и вместе с тем она есть геометрическое место точек, лежащих внутри данного угла и равноотстоящих от двух его сторон.
— А если рассматривать окружность?
— Окружность есть геометрическое место точек, равноотстоящих от центра, то есть от данной точки.
— Правильно! Но вот ты видишь, что эти два определения дают тебе две линии различной формы. Следовательно, при помощи старинного понятия геометрического места ты можешь определять кривые, различные по форме. Так как на свете очень много кривых линий, а прямая только одна, то мы ее тоже будем причислять к кривым, а потом выясним, как выделить ее из них. Ты узнаешь далее, почему люди так заинтересовались определением именно формы кривых. Но вот еще что: давай нарисуем прямой угол и проведем его биссектрису.
Илюша нарисовал.
— Будем теперь рассматривать этот чертеж как диаграмму, или график. Разделим обе стороны угла на равные промежутки и дадим делениям номера по порядку.
Илюша сделал и это.
— Теперь посмотрим, как расположена относительно сторон угла биссектриса. Когда на горизонтальной стороне мы найдем четвертую точку деления и восстановим из нее пер-
— 225 —
пендикуляр, то он пересечет биссектрису в точке, которая по вертикальной стороне прямого угла соответствует…
— Тоже четвертому делению, — сказал Илюша. — Да ведь так и должно быть, потому что это биссектриса и обе стороны угла расположены симметрично по отношению к биссектрисе. По-моему так!
— Верно, — отвечал Радикс. — Но если так, значит, деления на сторонах угла позволяют нам определить положение точки внутри угла с помощью двух чисел, выражающих расстояния точки от сторон угла. Раз мы это выяснили, то тем самым мы сделали первый шаг к формулам, потому что формулы относятся именно к числам. Эти два числа называются координатами точки. Расстояние от вершины угла до основания перпендикуляра, опущенного на горизонтальную сторону угла, обычно обозначают буквой х и называют абсциссой точки. Горизонтальную сторону угла называют при этом осью иксов, или осью абсцисс. Другую сторону угла называют осью ординат, или осью игреков. Вторую координату точки — ее расстояние от оси абсцисс — обозначают буквой у, называя это число ординатой точки. Ось иксов и ось игреков называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Очевидно, что для точки, лежащей в начале координат, и х и у равны нулю. Если двигать точку вправо, то значение х будет увеличиваться, а если ты будешь двигаться вверх, то будет расти значение у.
— Ясно. Если я пойду в левую сторону от оси ординат, то мне уже придется значения х считать отрицательными, а если пойду вниз, ниже осп абсцисс, то там надо значения у считать отрицательными.
— Совершенно верно. Теперь ты сможешь определить положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Ну, а теперь подумаем, нельзя ли нам как-нибудь записать с помощью формулы то свойство биссектрисы, о котором мы только что говорили. Какую бы точку ни взять на биссектрисе, для нее длины перпендикуляров, опущенных на обе стороны угла, должны быть равны…
— 226 —
— То есть абсцисса и ордината всякой точки на биссектрисе равны между собой! — воскликнул Илюша. — Это я понимаю, но как же это записать, если абсцисса и ордината могут принимать какие угодно числовые значения? Когда, например, х равен единице, то и у должен равняться единице; когда х равен двум, то и у равен двум…