Волшебный двурог

— 228 —

— Меня немного удивляет, — произнес в ответ Илюша, — что ты так много говоришь о системах. Мне кажется, что самое важное в математике — это уметь решить какую-нибудь задачу или, скажем, целый ряд каких-нибудь похожих друг на друга задач. Разве это не так?

— Почему не так? — возразил Радикс. — Конечно, это так, но я говорил о том, что когда ты решаешь целый ряд схожих между собой задач, то имеет смысл собрать воедино все способы их решения, а затем рассмотреть, что в них есть общего и чем они друг с другом связаны. В других случаях ты берешь какой-нибудь один способ решения задач и рассматриваешь, какого рода задачи можно при его помощи решать. При этом ты нередко находишь связующие нити между задачами различного рода, и тем самым они объединяются. Постепенно путем таких объединений и обобщений строится общая теория. Вот что я имел в виду… А теперь посмотрим, что получится на чертеже, если мы вместо у = х напишем такое уравнение:

у = 2х.

Давай иксу различные значения, начиная с нуля, и следи, что будет происходить с игреком. А потом нарисуй, что у тебя получится.

Илюша составил табличку.

x			y
0			0
1			2
2			4
3			6
4			8
5			10

x | 0 1 2 3 4 5

y | 0 2 4 6 8 10

Когда он попробовал нанести точки на график и соединить их, то у него получилась снова прямая, но только теперь она не была уже биссектрисой, а шла гораздо ближе к вертикальной оси, как это показывает рисунок на странице 228.

— Опять прямая, — сказал Радикс, — только она наклонена по отношению к оси абсцисс под другим углом. Изменив коэффициент у икса в уравнении, ты изменил наклон прямой. Значит, этот коэффициент определяет наклон прямой. Ясно?

— Как будто ясно. Если увеличить коэффициент, то она будет еще скорее подниматься.

— И поэтому этот коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. Ну, а теперь, — продолжал Радикс, — давай прибавим к правой части уравнения постоянную величину, например «три».

Илюша написал уравнение, а затем составил табличку:

у = 3 + 2х.

— 229 —

x								2x	y
0				3				0	3
1				3				2	5
2				3				4	7
3				3				6	9
4				3				8	11
5				3				10	13

Когда теперь он нарисовал две последние прямые, то оказалось, что вторая прямая идет параллельно первой, но всюду проходит выше ее на три деления, как на рисунке на стр. 228.

— Ну вот, — заключил Радикс, — ты получил две параллельные прямые. Значит, по уравнению прямой ты очень легко можешь судить о том, как она расположена. Коэффициент этих прямых определяет наклон прямой, а свободный член говорит о том, выше или ниже прямая расположена. Теперь продолжим оси. Ось иксов продолжим влево за нуль; там мы будем наносить, как уже ты сказал, отрицательные значения х. Ось игреков продолжим ниже нуля, и там мы будем наносить отрицательные значения у. Теперь вот что: дадим у значение нуль в уравнении

у = 2 + х.

Илюша написал:

2 + х = 0.

— Ну, чему равен икс? Это ведь уравнение первой степени.

— Икс равен минус два.

— Справедливо. А что это будет обозначать на графике?

Илюша составил табличку, потом график; взял линейку и продолжил прямую влево за ось игреков. Оказалось, что прямая пересекла ось иксов как раз в точке — 2.

— Как интересно, сказал Илюша.— Значит, этим способом можно решать уравнения?

— Да, это графический способ решения уравнений. И он чрезвычайно полезен, когда дело идет об очень кропотливом решении уравнений высших степеней. Таким образом, ты видишь, что с геометрической точки зрения корень уравнения есть не что иное, как абсцисса точки пересечения

—230—

 кривой с осью абсцисс.

— Слушай-ка, — сказал Илюша, — а что получится, если мы возьмем квадратное уравнение?

— Давай попробуем. Пиши:

y = x² — x — 2

Теперь подставляй значения икса. Начнем с минус четыре и дойдем до плюс четыре.

x	x 2	—x		y
—4	+ 16	+ 4	—2	18
—3	+ 9	+ 3	—2	10
—2	+ 4	+2	—2	4
—1	+1	+1	—2	0
0	0	0	—2	—2
+ 1	+ 1	—1	—2	—2
+ 2	+ 4	—2	—2	0
+ 3	+ 9	—3	—2	—4
+ 4	+ 16	—4	—2	10