Теперь я уменьшаю величину АС в миллион раз. Уменьшение это касается только самого треугольничка, то есть его катетов и гипотенузы, а дуга как была, так и остается.
При вычислении длины кривой дуга ADB заменяется прямой АВ, которую легко определить:
AB = √[(AC)2 + (BC)2]
Если уменьшать катеты треугольника ABC и считать их бесконечно малыми, то можно вычислить длину кривой, которая будет равна пределу суммы таких бесконечно малых гипотенуз.
Очевидно, что при этом точка В будет просто скользить по измеряемой дуге. Итак, я уменьшил треугольник. А теперь я опять его увеличиваю на этот раз вместе с участком дуги снова в миллион раз, и он снова равен двадцати пяти сантиметрам. Но зато сама дуга, а ведь она-то нас больше всего интересует, теперь уже гораздо больше похожа на гипотенузу. Их еле можно отличить друг от друга. И снова я уменьшаю полученный треугольник, но на этот раз в миллион миллионов раз, а затем опять увеличиваю так, чтобы катет АС был равен двадцати пяти сантиметрам. Теперь уже ясно видно, что дуга и гипотенуза слились воедино и отличить их друг от друга невозможно. Так как ясно, что этот процесс уменьшения и рассматривания в новый, еще более сильный «микроскоп» я могу повторять столько раз, сколько мне заблагорассудится, то очевидно, что мы, уменьшая размеры приращений, можем приблизиться с нашим отрезком прямой сколь угодно близко к искомой длине дуги… Теперь начинается самое значительное и самое интересное. Слушай внимательно! Если ты
— 344 —
изучаешь некий физический закон и не можешь его из-за сложности формулировать…
В это время сзади Илюши раздалось робкое, однако настойчивое покашливание. Мальчик обернулся и увидел маленького старичка с бородой, в темных очках. Он вежливо приподнял шляпу и сказал:
— Надеюсь, что не помешал… Очень хотел бы… Меня зовут Зазубрилкин Фиолет Чернилыч. Я хотел поделиться с вами одним моим открытием. Очень упрощает прохождение курса алгебры и геометрии… Разрешите изложить?
— Пожалуйста, — ответил Илюша.
— Открытие мое, конечно, пустяковое, — произнес Фиолет Чернилыч. — Мне удалось показать, что сторона квадрата совершенно рационально выражается через его диагональ, и обратно.
— Как так? — удивился Илюша.
— Я, видите ли, сам сперва удивлялся, как это выходит, по потом убедился, что так и есть. Тут дело только в том, чтобы рассудить насчет бесконечности. Конечно, это штука довольно хитрая, но ведь все-таки длину окружности кое-как, на троечку, вычисляем, сумму уплывающей гомерической процессии тоже…
Илюша, не веря углам своим, хотел было переспросить, о какой собственно процессии идет речь. Но тут уж Фиолет Чернилыч достал из кармана мел, нарисовал квадрат, затем провел диагональ и приосанился (и в этот миг вдруг напомнил Илюше одного странного старичка, с которым он встретился в Схолии Шестой).
— Так вот-с, — начал он излагать свою теорию, — вместо того, чтобы идти от А к С по диагонали, я пойду от А к В, а от В к С. Затем от А к В1, затем к В2, потом к В3, а оттуда к С. Ясно, что второй мой путь равен первому, то есть движению от А к В и затем к С. Если сторона квадрата равна единице, то этот путь равен двум. Ясно! Теперь я пойду от А к С через точки B′1, B'2, B'3, B2, B'4, B'5 и B'6.
Затем я совершу этот же путь от А к С через точки новой ступенчатой кривой, ступени которой еще вдвое меньше. Каждый раз я буду удваивать число ступенек. Наконец я увеличу число
— 345 —
ступенек до бесконечности. Очевидно, что сколько бы раз я ни увеличивал число ступеней, их сумма равна двум. А с другой стороны, эта ступенчатая кривая неограниченно близко пододвигается к диагонали. В конце концов диагональ и ступенчатая кривая сольются, когда величина каждой ступеньки станет бесконечно малой. Отсюда ясно, что длина диагонали равняется двум, а вовсе не корню из двух. Вот и все! Вот я и хотел вас спросить… как же это?..
И вдруг Фиолет Чернилыч дернул себя за свою густейшую бородищу. К удивлению Илюши, борода медленно поползла вниз, за ней усы, багровый нос, очки и шляпа.
Перед Илюшей, гордо скрестив руки на груди, стоял не кто иной, как Уникурсал Уникурсалыч. И он снова спросил:
— Ну, что ты скажешь, о многомудрый отрок? Как насчет бесконечноватых процессов, отменяющих иррациональные числа, о синус души моей? А?
Вслед за этим Командор Ордена Семи Мостов церемонно раскланялся и расплылся в воздухе. Илюша беспомощно посмотрел на Радикса.
— Как же это так? — спросил он у своего друга жалобным голосом. — Ведь если вычислять, как он шел, например, во второй раз, то есть через точки А, В1, В2, В3 и С, то будет два треугольника. Стороны их каждая равна половине, а диагональ будет равна:
Если я обе эти диагонали сложу, то получу:
то есть все будет как надо. И, по-моему, сколько ни удваивай число ступенек, все равно так и останется. Но, с другой стороны, ведь действительно, если стороны треугольничков станут бесконечно малыми, то тогда их нельзя будет отличить от их гипотенуз и выйдет, что Уникурсал Уникурсалыч прав. В чем же здесь дело? Мне кажется, что на сколько бы частей я ни делил величину, равную корню из двух, она от этого увеличиться не может. А выходит неведомо что!
— Н-да, — сказал Радикс усмехаясь. — А не поможет ли тебе в беде этот самый «микроскоп Ньютона»? Ну-ка, попробуй!..
И действительно, как только Илюша вспомнил о микроскопе Ньютона, он тут же сообразил, что как ни уменьшай и как ни увеличивай чертеж Фиолета Чернилыча, ничего
— 346 —
ни в нем, ни в открытии Пифагора измениться не может.
Илюше даже пришло в голову, что если приложить принцип Фиолета Чернилыча к измерению дуги (о чем они только что толковали с Радиксом), то придется брать не гипотенузу прямоугольного треугольника, а просто сумму катетов, что вряд ли приведет к какому бы то ни было разумному результату…
Когда он все это изложил Радиксу, тот с ним согласился, и на том обсуждение новой выдумки Доктора Четных и Нечетных и было благополучно закончено.
— Итак, вернемся! — сказал Радикс. — Допусти, как я уже тебе говорил, что ты изучаешь некоторый важный физический процесс или закон и из-за его сложности не можешь формулировать его математически. Так вот, представь себе, что нередко в таком случае ты имеешь полную возможность формулировать, как этот процесс протекает в бесконечно малом.
— В бесконечно малом? Это я что-то не понимаю!
— Возьмем пример, — отвечал Радикс. — Ньютон искал закон остывания нагретого тела. Закон этот очень важен для многих отделов науки. В частности, очень важно и для металлургов знать, с какой скоростью остывает расплавленный металл. Ньютон наблюдал это явление, делал опыты, даже сконструировал для этого первый в мире термометр — он был масляный. Ньютон видел, что температура нагретого тела падает непропорционально времени, что если нарисовать на чертеже кривую температуры остывающего тела, то получается довольно сложная кривая, уравнения которой он не знал. Тогда он решил исследовать, что происходит при небольших изменениях температуры. Другими словами, он рассматривал в свой «микроскоп» малые участки кривой, почти не отличимые от касательной. А тангенс угла наклона касательной как раз и выражает, как ты помнишь, скорость изменения ординаты в данной точке. Таким образом, Ньютон стал исследовать, с какой скоростью происходят изменения температуры в различные моменты времени. Если нанести эти значения скорости в качестве ординат на график, то получится кривая проще кривой изменения температуры. Это обстоятельство и позволило Ньютону высказать по поводу кривой скорости остывания разумную гипотезу. Ты, наверно, и сам замечал, что стакан чаю недолго бывает таким горячим, что пить нельзя, но зато теплым остается долго.