На рис. 22.8 показано три поверхности с краем: цилиндр, диск с тремя дырками и лента Мёбиуса. Пунктирными линиями представлены разрезы. Для цилиндра и диска с дырками число связности равно 1 и 3 соответственно. Работа Римана по числам связности предшествует открытию неориентируемых поверхностей Мёбиусом, но числа связности для неориентируемых поверхностей вычисляются точно таким же образом. В частности, лента Мёбиуса 1-связная.
Рис. 22.8. Разрезы для определения чисел связности различных поверхностей
Простейшей замкнутой поверхностью является сфера. Любой разрез вдоль замкнутой кривой разбивает сферу на две части. Поэтому сфера 0-связная. Если разрезать тор вдоль трубки, то получится цилиндр. После второго разреза параллельно оси цилиндра получится прямоугольник. Следовательно, число связности тора равно 2. Аналогично можно вычислить числа связности других поверхностей. Двойной тор 4-связен, проективная плоскость 1-связна, а бутылка Клейна 2-связна.
Может показаться, что число связности — новый важный топологический инвариант, но на самом деле это замаскированная эйлерова характеристика. Проницательный читатель, наверное, уже подметил связь между числом связности и родом ориентируемой замкнутой поверхности. И Риман тоже обратил на это внимание — число связности в два раза больше рода. Если известна одна из трех величин — род, эйлерова характеристика или число связности, — то можно вычислить и остальные две.
Давайте уточним связь между числом связности и эйлеровой характеристикой. Представим себе, что до фактического разрезания мы нарисовали линии разрезов на n-связной поверхности S. Это дает очень простое разбиение поверхности. Для простоты предположим, что все разрезы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке, так что V = 1. После разрезания останется одна грань, так что F = 1. Кроме того, каждая линия разреза является ребром, так что E = n. В результате получаем следующее простое соотношение между числом связности и эйлеровой характеристикой:
χ(S) = 1 — n + 1 = 2 — n.
К концу жизни здоровье Римана начало ухудшаться. Между 1862 годом и смертью, последовавшей в 1866 году, он несколько раз ездил в Италию на лечение. В одну из поездок он навестил своего знакомого Бетти, с которым встречался в Гёттингене в 1858 году. Бетти был профессором в Пизанском университете. Он также преподавал в высшей школе, был членом парламента и сенатором. Он был известным математиком и одаренным преподавателем и сыграл важную роль в возрождении математики в Италии после ее объединения.
Будучи в Италии, Риман беседовал с Бетти о том, как обобщить числа связности на многообразия более высокой размерности. Трудно сказать, кто из них какой вклад внес в теорию. В 1871 году именно Бетти опубликовал эти обобщения, но из писем и заметок видно, что Риман многое знал о них еще в 1852 году.
Идея обобщения заключается в том, чтобы по аналогии с тем, как Риман подсчитывал 1-мерные разрезы поверхности, подсчитать для n-мерного многообразия максимальное число m-мерных многообразий (подчиняющихся некоторым сложным условиям) для каждого m ≤ n. Это даст числа связности bm для всех m от 0 до n. В этих обозначениях b1 является римановым числом связности.
Рис. 22.9. Энрико Бетти
Бетти доказал, что bm — топологические инварианты многообразия. Однако работать с n-мерными многообразиями трудно, и позже выяснилось, что в определениях и рассуждениях Бетти имелись тонкие ошибки. Тем не менее работа Бетти стала исключительно важным шагом на пути к пониманию топологии n-мерных многообразий.
Исправить ошибки Бетти вознамерился Анри Пуанкаре. Он сделал это — и гораздо больше.
Приложения к главе
196. Scholz (1999).
197. Brouwer (1911).
198. Cauchy (1813a).
199. Schlafli (1901).
200. Breitenberger (1999).
201. Listing (1847), Listing (1861–1862).
202. Tait (1884).
203. Riemann (1851).
Глава 23
Анри Пуанкаре и взлет топологии