Рис. 14.12. Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен
Ученые и инженеры используют компьютеры для решения бесчисленных задач, но математики так не поступают. Компьютеры хороши для быстрых вычислений, но не для точных и тонких рассуждений, необходимых в математических доказательствах. Подобно литературе, философии и изобразительному искусству, математика всегда была устремлением человеческого духа, не поддающимся автоматизации. Быть может, настанет день, когда кто-нибудь создаст черный ящик для доказывания теорем. Мы вводим утверждение, а черный ящик отвечает «истина» или «ложь». (Такие попытки уже предпринимаются.) Кто-то скажет, что это лишило бы математику ее очарования и сделало бы менее красивой.
Доказательство теоремы о четырех красках стало первым широко обсуждаемым доказательством, полученным с помощью компьютера. И вряд ли последним. Еще один дискуссионный пример — доказательство гипотезы Кеплера, полученное в 1998 году Томасом К. Хейлсом122. Хейлс доказал, что Кеплер был прав, утверждая, что самый эффективный способ упаковки шаров в ящик — гранецентрированная кубическая упаковка: как бакалейщики укладывают апельсины, а артиллеристы ядра. Хотя этот результат был опубликован в престижном журнале Annals of Mathematics, редакция тянула с публикацией несколько лет (статья вышла в 2005 году), и даже тогда редакторы оговорились, что не стали и не смогли бы проверить тысячи строк компьютерного кода.
За годы, прошедшие с момента опубликования Аппелем и Хакеном своего спорного доказательства, оно было подвергнуто независимой проверке. Другие математики нашли меньшие неизбежные множества приводимых конфигураций и более эффективные способы доказательства теоремы, но и по сей день все доказательства нуждаются в проверке на компьютере.
Пауль Эрдёш (1913–1996), знаменитый венгерский математик, известный своей эксцентричностью, говаривал о «Книге» — воображаемом томе, содержащем самые красивые и элегантные доказательства математических теорем. Сегодня дверь перед теоремой о четырех красках почти закрыта, но мы все еще ждем старомодной проверки с помощью карандаша и бумаги — пока что мы не видели доказательства, достойного войти в Книгу.
Приложения к главе
109. Twain (1894), 42–43.
110. May (1965).
111. Graves (1889), 423.
112. Там же.
113. Cayley (1878).
114. Quoted in Dudley (1992).
115. Gardner (1975b); Gardner (1988).
116. Baltzer (1885), цитируется по Coxeter (1959).
117. Там же.
118. Kempe (1879).
110. Quoted in Wilson (2002), 119.
120. Gardner (1995).
121. Appel and Haken (1977); Appel, Haken, and Koch (1977).
122. Hales (2005).
Глава 15
Новые проблемы и новые доказательства
Первые важные понятия топологии были открыты в процессе изучения многогранников.
Допустим, вам задали вопрос: какие деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью? Сказав «клены», вы дали бы правильный ответ. Но всякий, кто ездил на машине по Пенсильванской глубинке в октябре, знает о раскрашенных в самые разные цвета дубах, березах и буках, возвышающихся посреди куч опавших листьев. Так что хотя ответ верный, он не содержит полного перечня таких деревьев. Можно ли сказать, что все деревья осенью меняют цвет? Нет. У сосен, елей и кедров нет листьев, им нечего сбрасывать. Чтобы высказать общее и при этом истинное утверждение, следует внимательно изучить различные деревья. Более полный ответ мог бы звучать так: листопадные деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью.
Для выпуклых многогранников имеет место соотношение V — E + F = 2. Это истинное утверждение. Мы знаем об этом из доказательств Эйлера, Лежандра, Коши и других. Однако мы знаем и то, что его можно усилить. Как заметил Пуансо, формула Эйлера справедлива не только для выпуклых многогранников, а, например, еще и для звездных. Математик Д. М. Я. Сомервилль (1879–1934) писал: «Выпуклость — это в какой-то мере акцидентальное свойство, выпуклый многогранник можно трансформировать, например путем сминания или вдавливания одной или нескольких вершин, в невыпуклый с точно такими конфигурационными характеристиками»124. Поэтому было бы неточностью и ненужным упрощением говорить, что только для выпуклых многогранников имеет место формула Эйлера. Эрнест де Жонкьер полагал, что, «ссылаясь на Лежандра и других высоких авторитетов, мы лишь способствуем широкому распространению предрассудка, от которого не свободны даже лучшие умы: будто теорема Эйлера верна только для выпуклых многогранников»125.