Ну, и третье исключение Люилье тоже легко отметается. Ведь в нем предполагается, что в многограннике имеется многогранная же полость, но это имеет смысл только для сплошных многогранников, тогда как Штаудт предполагал, что многогранники полые. Но даже если допустить сплошные многогранники, все равно условие 1 не выполняется, потому что не существует ребер, соединяющих внутренние вершины с внешними. Хотя исключения Гесселя удовлетворяют обоим условиям Штаудта, он, как и большинство математиков, не считал их многогранниками.
Интуитивно понятно, что многогранники, удовлетворяющие критериям Штаудта, — те, которые «похожи на сферу» и такие, что граница любой грани представляет собой один многоугольник. Многогранник не обязан быть выпуклым, но не может иметь туннелей. Если бы такой многогранник был сделан из резины, то, надув его, мы получили бы сферу.
Этот плодотворный диалог об эйлеровых и неэйлеровых многогранниках, состоявшийся в первой половине XIX века, подготовил сцену для рождения топологии. Эти идеи были развиты другими математиками, и кульминацией стало замечательное обобщение формулы Эйлера, полученное в конце XIX века Пуанкаре. Мы обсудим это развитие в главах 17, 22 и 23.
Приложения к главе
123. Quoted in Federico (1982), 71.
124. Sommerville (1958), 143-44.
125. de Jonquieres (1890).
126. Speziali (1973).
127. Pont (1974), 24.
128. Lhuilier (1813).
129. Hessel (1832).
130. Poinsot (1810).
131. Cauchy (1813a).
132. Lhuilier (1813).
133. Steiner (1826).
134. von Staudt (1847), 18–23.
135. Hoppe (1879).
Глава 16
Резиновые листы, полые бублики и безумные бутылки
Некто Клейн, не любивший вина,
Раз придумал бутылку без дна.
Восклицал он: «К тому же
Что внутри — в ней снаружи!
Даже пробка совсем не нужна!»
— Анонимный автор
К середине XIX века математики гораздо лучше понимали, как формула Эйлера применяется к многогранникам. Именно в то время они начали задаваться вопросом, применима ли она к другим объектам. Что, если мы говорим не о многограннике с плоскими гранями, а об изогнутой поверхности, например сфере или торе? И как в этом случае должно выглядеть разбиение? Напомним, что в 1794 году Лежандр воспользовался разбиением сферы на геодезические многоугольники, а Кэли показал, что, когда формула Эйлера применяется к графам, ребра необязательно должны быть прямолинейными.
Эти дискуссии знаменуют переход от геометрии к топологии. В популярной литературе часто встречается выражение «геометрия на резиновом листе», когда нужно рассказать, что такое топология, людям, незнакомым с этим термином. Хотя математики-буквалисты будут возмущены таким чрезмерным упрощенчеством, это все же разумный способ описать различие между топологией и геометрий. В геометрии важно, что объекты изучения жесткие. Измерение длин и углов, доказательство конгруэнтности, вычисление площадей и объемов — все это требует точной и неподвижной геометрической структуры.
Выше мы видели, что в некоторых случаях жесткость и неизгибаемость геометрических фигур не нужны и, более того, только затемняют математическую сторону предмета. Изучая кёнигсбергские мосты, Эйлер обнаружил, что важна общая конфигурация, а не точные местоположения. Это наблюдение привело к созданию теории графов, одному из первых воплощений топологии. Далее мы видели, что знакопеременная сумма V — E + F зависит только от общей формы — топологии — объекта, а не от числа граней или их конфигурации. Мы заметили, что для любого сферического многогранника имеет место равенство V — E + F = 2, для многогранника с g «туннелями» — равенство V — E + F = 2 — 2g, а для любого связного планарного графа — равенство V — E + F = 1.
Поэтому нетрудно представить, что формула Эйлера может быть применима и к другим объектам, отличным от многогранников. Начнем с резинового многогранника, удовлетворяющего формуле V — E + F = 2. Можно ли изменить его форму, так чтобы было V — E + F ≠ 2? Это нелегко. Если мы просто надуем его, как воздушный шарик, так что все грани и ребра перестанут быть прямыми, то знакопеременная сумма не изменится. Если мы сожмем его, перекрутим или вытянем, то соотношение между числом вершин, ребер и граней останется неизменным. И лишь если мы ножом прорежем воздушный шарик, то знакопеременная сумма изменится (появится по крайней мере одно новое ребро). В следующей главе мы более подробно обсудим, что значит, что две формы топологически «одинаковы», и выясним, как формула Эйлера применяется к различным топологическим формам.