Математический термин «топология» относится к 1847 году (до того он применялся только в ботанике). Впервые он появился на немецком в заголовке книги Листинга «Vorstudien zur Topologie»136, хотя и до того уже десять лет использовался в переписке. На английском его впервые употребил Питер Гатри Тэйт (1831–1901) в надгробном слове Листингу в 1883 году. Он писал: «Термин топология был введен Листингом, чтобы отличить то, что может быть названо качественной геометрией, от обыкновенной геометрии, в которой рассматриваются главным образом количественные соотношения»137. Термин «топология» прижился не сразу. Такие авторитетные математики, как Анри Пуанкаре и Освальд Веблен, продолжали пользоваться французским термином analysis situs. Великий тополог начала XX века Соломон Лефшец (1884–1972) не был в восторге от этого словосочетания. Он говорил, что analysis situs — «красивый, но неуклюжий термин»138.
Восхождение Лефшеца на вершину славы любопытно. Он родился в России в 1884 году в семье евреев, бывших подданными Османской империи, рос и учился во Франции, эмигрировал в Америку и стал работать инженером в Филадельфии. В двадцать шесть лет в результате тяжелой производственной травмы он потерял обе руки и решил строить карьеру в математике. За один год он написал докторскую диссертацию в университете Кларка и некоторое время преподавал в Небраске, а затем получил место в Канзасском университете в Лоуренсе. Затем, в возрасте сорока лет, после десяти лет важной работы, его приняли на работу в Принстонский университет. За свою долгую выдающуюся карьеру он получил многочисленные награды, включая Национальную научную медаль США.
Согласно Альберту Такеру (1905–1995), одному из учеников Лефшеца, именно Лефшец популяризировал употребление термина «топология». Свою оказавшую сильное влияние книгу, написанную по просьбе Американского математического общества, он назвал «Топология». Вот что пишет Такер:
Лефшец искал выразительное и в то же время, как он говорил, «сочное» название, поэтому решил позаимствовать слово Topologie из немецкого языка. Это было странно для Лефшеца, поскольку он учился во Франции, а Пуанкаре предпочитал термин analysis situs; но, раз остановившись на нем, он развернул кампанию за его всеобщее использование. Эта кампания быстро привела к успеху, как мне кажется, прежде всего из-за производных слов: тополог, топологический, топологизировать. От analysis situs их так просто не произвести!139
Мы начнем знакомство с топологией с рассмотрения поверхностей. Примерами поверхностей являются двумерная плоскость, сфера, тор, диск и цилиндр. Поверхность — это любой объект, который локально выглядит как плоскость. Если посадить муравья на большую поверхность, то он будет думать, что сидит на двумерной глади. Умный муравей мог бы обнаружить, что поверхность не плоская, предприняв ее исследование (подобно тому, что пытался сделать Колумб, когда отправился на запад на поиски Индии), но, оставаясь на месте, он никогда этого не узнает.
Рис. 16.1. Муравей на поверхности сферы и тора
Важно понимать различие между внутренней и внешней размерностью. Муравей, сидящий на поверхности, скажет вам, что она локально двумерная — внутренняя размерность поверхности равна двум. Но чтобы мы могли построить физическую копию этой поверхности, она должна где-то находиться, размерность этого объемлющего пространства называется внешней размерностью. Внутренняя размерность сферы и тора равна двум, но они должны находиться в трехмерном пространстве, поэтому внешняя размерность равна трем. Вскоре мы встретимся со странными поверхностями, которые нельзя построить в трехмерном пространстве. Их внешняя размерность равна 4. С топологической точки зрения наиболее важна внутренняя размерность поверхности; именно поэтому мы говорим, что поверхности двумерны.
Поверхности характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Иными словами, вблизи все они одинаковы. Все выглядят, как евклидова плоскость. Но глобально они могут существенно различаться. Они могут заворачиваться, иметь сквозные дыры, могут быть скрученными или завязанными в узел и т. д.