Рис. 16.13. Бутылка Клейна
Что значит «протащить»? Мы не имеем в виду буквальное действие. Бутылка Клейна — наш первый пример поверхности, которую нельзя построить в трехмерном пространстве. Говоря, что бутылка проходит сквозь себя, мы имеем в виду обход в четвертом измерении. Чтобы проиллюстрировать эту малопонятную идею, снова понизим размерность. Пусть требуется провести на плоскости две непараллельные, но не пересекающиеся прямые. Очевидно, что это невозможно, но если бы было разрешено выйти за пределы двумерного листа бумаги и воспользоваться третьим измерением, то мы могли бы перед точкой пересечения перепрыгнуть через прямую (рис. 16.14). Таким образом, две прямые по существу плоские, но требуется чуть-чуть задействовать третье измерение. С помощью точно такого же приема мы можем построить и бутылку Клейна. Когда понадобится протащить горлышко сквозь стенку, мы совершим небольшой прыжок в четвертом измерении.
Рис. 16.14. Совершив обход с выходом в третье измерение, мы можем избежать пересечения прямых
Но вернемся к квадрату и создадим последнюю поверхность в этой главе. Представить ее наглядно труднее всего. Нужно склеить обе пары противоположных сторон, предварительно перекрутив каждую (рис. 16.15). Для начала деформируем квадратный лист резины, так чтобы он принял форму чаши. Будем внимательно следить за тем, какие участки границы с какими склеивать. Продолжим деформацию, так чтобы подлежащие склеиванию стороны оказались напротив друг друга и имели одинаковую ориентацию. Склеим одну пару сторон (на рис. 16.15 мы склеили стороны, помеченные двойными стрелками). Мы оказались в затруднительном положении — после такого склеивания оставшаяся пара сторон находится по разные стороны новой поверхности. Чтобы довершить склеивание, придется воспользоваться четвертым измерением, чтобы поверхность могла пройти сквозь себя. На рис. 16.15 приведено два разных представления этой странной неориентируемой поверхности, которая называется проективной плоскостью.
Впервые проективная плоскость возникла не в этом контексте — как объект, полученный склеиванием поверхностей. Как вытекает из самого названия, это был предмет изучения проективной геометрии — геометрической системы, в которой любые две прямые, даже параллельные, пересекаются в какой-то точке. Клейн и Людвиг Шлефли (1814–1895) первыми поняли, что проективная плоскость неориентируема.
Рис. 16.15. Проективная плоскость
В приложении A показано, как склеить из бумаги цилиндр, тор, ленту Мёбиуса, бутылку Клейна и проективную плоскость.
Клейн предложил один метод создания сложных поверхностей из более простых — попарное склеивание сторон многоугольников. А сейчас мы представим другой способ. Начнем со сферы и будем приклеивать к ней цилиндрические ручки, чтобы из ориентируемых поверхностей и лент Мёбиуса делать неориентируемые поверхности.
Как видно по рис. 16.16, чтобы добавить к поверхности ручку, нужно вырезать из нее два диска и приклеить к краям дырок концы цилиндра. Сфера с одной ручкой — это тор. Для построения двойного тора нужно добавить еще одну ручку, а для построения тора с g дырками — добавить g ручек.
Рис. 16.16. Сфера с ручкой (тор)
Количество ручек на такой поверхности тесно связано с топологической величиной — родом. Родом ориентируемой поверхности (с краем или без) называется максимальное число замкнутых непересекающихся кривых, не разделяющих поверхность на несвязные части.
Для иллюстрации этого понятия рассмотрим сферу. Разрез по любой простой замкнутой кривой разделяет сферу на две части. Это еще одно применение теоремы Жордана — как и на плоскости, простая замкнутая кривая делит сферу на две области. Поэтому род сферы равен 0. С другой стороны, поверхность тора можно разрезать вдоль петли, так что она останется связной (рис. 16.17), но после первого разреза найти еще одну такую замкнутую кривую невозможно. Поэтому род тора равен 1.