Рис. 16.17. Поверхности рода 1, 2 и 3
Род сферы с ручками просто равен числу ручек. Двойной тор имеет род 2, и в общем случае род тора с g дырками равен g. Понятие рода поверхности дает строгий способ определения числа туннелей Люилье. Можно было бы определить род и для неориентируемых поверхностей, и некоторые так и делают. Но поскольку род тесно связан с количеством дырок в торе, то обычно в неориентируемом случае он не используется.
Созданию ориентируемых поверхностей с помощью добавления ручек есть аналог в неориентируемом случае. Чтобы разобраться в этой процедуре, мы должны будем вернуться к ленте Мёбиуса. Одним из ее отличительных свойств является наличие единственного края, эквивалентного окружности. Обычно ленту Мёбиуса рисуют так, что эта окружность дважды обвивает скрученный цилиндр. Наша цель — деформировать ленту Мёбиуса, так чтобы ее край выглядел как обычная, а не дважды скрученная окружность. Очевидно, что для этого упражнения топологической йоги придется выйти в четвертое измерение.
На рис. 16.18 мы видим деформированную таким образом ленту Мёбиуса. Заметим, что эта фигура пересекает самое себя по целому отрезку прямой. Самопересечение в верхней части этой ленты Мёбиуса с верхней горбушкой и с перекрещивающейся поверхностью внизу часто называют зонтиком Уитни в честь тополога Хасслера Уитни. Это странное представление ленты Мёбиуса называется скрещенным колпаком. Сходство с проективной плоскостью должно быть очевидно, потому что скрещенный колпак — это попросту проективная плоскость с вырезанным диском.
Рис. 16.18. Лента Мёбиуса — то же самое, что скрещенный колпак
Подобно тому, как ориентируемые поверхности создаются путем присоединения ручек, неориентируемые можно создавать путем присоединения лент Мёбиуса. Для этого вырежем из поверхности диск и приклеим кольцевой край ленты Мёбиуса к краю дырки. На рис. 16.19 видно, что наглядно представить это склеивание проще, если заменить обычную ленту Мёбиуса скрещенным колпаком. Мы создаем проективную плоскость, добавляя к сфере один скрещенный колпак. По-другому можно сказать, что проективная плоскость — это лента Мёбиуса с приклеенным к ее краю диском.
Рис. 16.19. Сфера со скрещенным колпаком (создание проективной плоскости)
Хотя представить это еще сложнее, сфера с двумя скрещенными колпаками есть не что иное, как бутылка Клейна. Эквивалентно, бутылку Клейна можно получить, склеив краями две ленты Мёбиуса. Приклеивание более двух скрещенных колпаков к сфере порождает еще более странные поверхности.
Теперь у нас есть два способа построения ориентируемых и неориентируемых поверхностей. В следующей главе мы рассмотрим, как к таким поверхностям применяется формула Эйлера. Мы также познакомимся с теоремой о классификации поверхностей, которая утверждает, что любую замкнутую поверхность можно получить добавлением к сфере ручек и скрещенных колпаков.
Приложения к главе
136. Listing (1847).
137. Tait (1883).
138. Lefschetz (1970).
139. Из интервью Maurer (1983).
140. Klein (1882/83).
141. Brahana (1921).
142. Clarke (2000).
143. Gardner (1990).
144. Gardner (1956).
145. Listing (1861–1862).
146. Mobius (1865).
147. Во введении к Abbott (2005), xxix.
148. Klein (1882).
Глава 17
Разные или одинаковые?
Очень часто повторяют, что Геометрия — это искусство хороших рассуждений о плохо нарисованных фигурах; и все же эти фигуры, чтобы не вводить нас в заблуждение, должны удовлетворять некоторым свойствам; пропорции могут быть сильно искажены, но относительные положения различных частей нарушать не следует.
Один из самых часто задаваемых вопросов в математике: одинаковы ли два математических объекта X и Y? В разных контекстах слово «одинаковые» может означать разные вещи. Часто одинаковые — то же, что равные, например выражение 5 4 + 6 — 23 и число 18 или многочлены x2 + 3x + 2 и (x + 2)(x + 1). В других случаях одинаковость и равенство — разные вещи. Для моряка, ориентирующегося по компасу, два угла одинаковы, если они отличаются на 360° (т. е. 30° — то же, что 390°). Геометр может сказать, что два треугольника одинаковы, если они конгруэнтны или, быть может, подобны.
В топологии критерии одинаковости слабее, чем в геометрии. Тут в игру вступает аналогия с резиновым листом. Интуитивно, если одну фигуру можно непрерывно деформировать в другую, то они одинаковы. Сгибание, растяжение, перекручивание и сминание не изменяют топологию фигуры. Например, окружность на рис. 17.1 одинакова с клубком справа от нее. С другой стороны, прокалывание фигуры, разрезание ее или приклеивание к себе самой, скорее всего, даст топологически отличную фигуру. Окружность — не то же самое, что две склеенные окружности, образующие восьмерку.