В первой половине XIX века математики приложили много усилий для классификации многогранников, удовлетворяющих формуле Эйлера, — так называемых эйлеровых многогранников. Мы пришли к расплывчатому пониманию того, что все многогранники, «похожие на сферу», являются эйлеровыми, а странные исключения Люилье и Гесселя таковыми не являются. Оказывается, что формула Эйлера применима к любому многограннику, топологически эквивалентному сфере. Куб, любое платоново или архимедово тело и даже некоторые невыпуклые многогранники можно деформировать в сферическую поверхность (рис. 17.2). Неэйлеровы многогранники, например, образованные соединением двух многогранников вдоль ребра или имеющие форму тора, топологически не эквивалентны сфере.
Рис. 17.1 Этот клубок топологически эквивалентен окружности, а восьмерка неэквивалентна
Рис. 17.2. Многогранники, топологически эквивалентные и неэквивалентные сфере
Может показаться, что изучение этих фигур интуитивно очевидно, но поразительно, насколько часто мы сталкиваемся с результатами, противоречащими интуиции. Например, на рис. 17.3 мы начали с двойного тора, подвешенного на веревке, проходящей через одну из его дырок. Путем топологических манипуляций (без разрезания или склеивания!) мы приходим к результату, который поначалу кажется невозможным, — двойному тору, продетому за обе дырки.
В главе 16 мы видели разницу между внешней и внутренней размерностями. Подобную терминологию можно было использовать и в этом контексте. Примеры, приведенные выше в этой главе, обладают тем, что можно было бы назвать внешней топологией, поскольку одну фигуру можно деформировать в другую в трехмерном пространстве. Математики называют две фигуры с одинаковой внешней топологией изотопическими. Изотопия — вроде бы подходящий выбор для определения топологической «одинаковости», но в действительности топологи хотят больше свободы. Нам нужно менее ограничительное определение эквивалентности.
Рис. 17.3. Фокус с двойным тором на бельевой веревке
Чтобы две фигуры были топологически эквивалентными, они должны иметь одинаковую внутреннюю топологию. Если две поверхности эквивалентны, то каким бы умным ни был обитающий на поверхности муравей, он не сможет отличить одну от другой, не покидая поверхности. Можно найти две эквивалентные поверхности такие, что одну невозможно деформировать в другую. Таким образом, аналогия на основе резинового листа несовершенна.
Чтобы понять это новое определение, придется вернуться к разрезанию и склеиванию. Хотя обычно разрезание и склеивание действительно изменяют топологию поверхности, это верно не всегда. Есть важное исключение: разрезать фигуру, а затем склеить отдельные куски, так чтобы разрезы точно совпали. В этом случае топология не изменится. Если разрезать тор поперек, так чтобы получился цилиндр, затем завязать цилиндр в узел и снова склеить (как на рис. 17.4), то получившаяся фигура топологически по-прежнему эквивалентна тору. Заметим, что завязанный в узел тор нельзя получить из исходного путем деформаций в трехмерном пространстве — эти фигуры не изотопические. Внутренняя топология одинакова, но внешняя различается. С другой стороны, никаким способом невозможно разрезать, деформировать и снова склеить тор, так чтобы получился двойной тор. Достаточно умный муравей сможет доказать, что они топологически различны (и очень скоро мы увидим, как именно).
Точное определение топологической «одинаковости» выходит за рамки этой книги. По существу, два топологических объекта одинаковы, если существует взаимно однозначное соответствие между их точками, сохраняющее близость, — близким точкам одного объекта соответствуют близкие точки другого. Это понятие «одинаковости» было введено Мёбиусом, который называл соответствие «элементарной связью»150. В настоящее время такое соответствие называют гомеоморфизмом. Таким образом, на языке топологов два объекта одинаковы, если они гомеоморфны.
Рис. 17.4. Фигуры, топологически эквивалентные и неэквивалентные тору