Приложения к главе
161. Shakespeare (2002), 82.
162. Vandermonde (1771).
163. Gauss (1877).
164. Listing (1847).
165. Seifert (1934).
166. Порядковый номер A002864 в Sloane (2007).
167. Crowell (1959).
168. Порядковый номер A002863 в Sloane (2007).
169. Kauffman (1987b); Murasugi (1987); Thistlethwaite (1987).
Глава 19
Как причесать ежа
Пусть грянет хаотичный шторм
и сотрясение платформ!
Я жажду форм.
— Роберт Фрост, «Pertinax»170
Многие ученые используют математику как средство для предсказания поведения. Ученый может располагать уравнением или системой уравнений, описывающих взаимодействие величин в модели. И пользуется математикой, чтобы вывести из этих уравнений какие-то заключения.
Часто математические модели выражаются с помощью дифференциальных уравнений. Они описывают скорости изменения различных величин со временем. Например, эколог может составить систему дифференциальных уравнений для моделирования популяционной динамики кроликов и лис в заповеднике, обусловленной отношениями между хищником и добычей. Когда кроликов много, лисы наслаждаются изобилием пищи. За счет этого их число растет, а число кроликов падает. В конечном итоге запас пищи у лис иссякает, поэтому их популяция уменьшается. И теперь наступает черед процветать кроликам. Такое циклическое поведение показано на рис. 19.1.
Рис. 19.1. Модель хищник-добыча
Дифференциальные уравнения записываются в виде алгебраического соотношения между переменными и их производными. Говоря о решении дифференциального уравнения, мы имеем в виду, что при заданных начальных условиях можно предсказать будущее поведение системы. Иными словами, если мы знаем, сколько кроликов и лис имеется сегодня, то сможем предсказать, сколько их будет через год. Кривая на рис. 19.1 — график решения. Стрелками показано положительное направление времени. Кривая построена в фазовом пространстве — топологическом объекте, представляющем все возможные значения переменных. В данном случае фазовым пространством является первый квадрант плоскости (поскольку число кроликов и лис должно быть неотрицательно). В более экзотических примерах фазовое пространство может иметь топологически более сложную форму.
Иногда ученому недостаточно найти конкретное решение дифференциального уравнения. Часто более важны качественные выводы. Обладает ли система равновесным состоянием — популяциями, в которых для обоих видов частота смертей равна частоте рождений? Существуют ли начальные условия, при которых один или оба вида обречены на вымирание? А условия, ведущие к взрывному росту популяции? Будет ли поведение популяций носить циклический характер, или оно хаотично? Даже если мы в состоянии найти аналитическое решение дифференциального уравнения, ответить на такие важные «глобальные» вопросы не всегда легко.
Чтобы лучше понять, как устроены решения системы дифференциальных уравнений, необходим более наглядный, геометрический способ их представления. Есть два распространенных метода: порождение потока или векторного поля в фазовом пространстве. Поток, называемый также непрерывной динамической системой, ассоциирует с каждой точкой фазового пространства траекторию движения точки. Эта траектория попросту представляет собой кривую решения дифференциального уравнения. Несколько таких траекторий для модели хищник-добыча показаны на рис. 19.2. Видно, что для любой неравновесной пары начальных популяций их численности циклически увеличиваются и уменьшаются.
Рис. 19.2. Поток и векторное поле, ассоциированные с моделью хищник-добыча
Вместо того чтобы выражать дифференциальное уравнение алгебраически или в виде потока, мы можем описать его в терминах векторного поля. В отличие от скалярных величин, таких как температура, время, яркость или масса, которые можно описать одним значением, векторные величины имеют величину и направление. В физике вектором описывается скорость: вектор указывает направление движения, а его абсолютная величина (модуль) представляет быстроту перемещения объекта. Можно было бы привести и другие примеры, но пример скорости, наверное, самый интуитивно понятный. На самом деле если интерпретировать поток как движение частиц, то векторное поле состоит из векторов скоростей этих частиц в фазовом пространстве.