На рис. 19.2 мы видим единственную точку равновесия, в которой число лис и кроликов остается неизменным. Абсолютная величина вектора в точке равновесия равна нулю, поэтому говорят, что в этой точке векторное поле имеет ноль. А для потока это неподвижная точка, или точка покоя. Нули векторного поля часто играют огромную роль, потому что представляют точки равновесия системы.
Остаток этой главы мы посвятим исследованию векторных полей на поверхностях, а не порождающим их дифференциальным уравнениям. Наша основная цель — понять связь между нулями векторного поля и топологией поверхности.
Один из самых простых способов получить векторное поле на поверхности — поместить поверхность в трехмерное пространство и считать, что векторы «указывают в направлении подножья горы», и чем круче спуск, тем длиннее вектор. Это называется градиентным векторным полем. На рис. 19.3 показано градиентное векторное поле на сфере и торе. Чтобы представить себе поток, ассоциированный с векторным полем, вообразим, что поверхность покрыта патокой. Тогда траектории потока — это просто пути, по которым вязкий сироп сползает вниз по поверхности.
Рис. 19.3. Градиентные векторные поля на сфере и на торе
На рис. 19.3 видно, что градиентные векторные поля на сфере и на торе имеют нули — на сфере их два (один на северном полюсе, другой на южном), а на торе четыре (верхняя и нижняя точки тора и верхняя и нижняя точки дырки). Верно ли, что любое векторное поле на сфере имеет ноль? А на торе? Если мы сможем утвердительно ответить на этот вопрос для некоторой поверхности S, то получим очень сильный результат. Он означает, что если фазовым пространством системы является S, то у системы обязательно существует точка равновесия.
Частичный ответ на эти вопросы дает красивая теорема Пуанкаре-Хопфа. Она устанавливает неожиданную связь между нулями векторного поля и эйлеровой характеристикой. Чтобы понять, в чем ее суть, мы должны внимательнее познакомиться с нулями векторных полей.
Не все нули одинаковы. На рис. 19.4 мы видим пять различных нулей и соответствующие им неподвижные точки потока. Поведение в окрестности этих нулей сильно различается. Источник отталкивает все близлежащие точки, сток притягивает их, седло делает то и другое, точки вокруг центра обтекают неподвижную точку, а точки вокруг диполя утекают, а затем притекают обратно (похоже на линии магнитного поля вокруг стержневого магнита).
Рис. 19.4. Векторные поля в окрестности нуля и соответствующие им потоки
Источники, стоки и седла часто встречаются как нули градиентного потока. На рис. 19.5 мы видим источник в верхней точке перевернутой чаши, сток в нижней точке чаши, а седло в середине седлообразной поверхности. Заметим, что на рис. 19.3 градиентный поток на сфере имеет один источник и один сток, а градиентный поток на торе — один источник, один сток и два седла.
Интуиция подсказывает, что стоки, седла и источники чем-то различаются и должно существовать правило, описывающее количество нулей каждого типа. Из примера градиентного потока мы видим, что на сфере может находиться векторное поле с двумя нулями, но трудно представить себе векторное поле на сфере с одним стоком и одним седлом. Ключевая идея, позволяющая различать нули, — индекс.
Рис. 19.5. Источник, сток и седло в градиентном векторном поле
Индекс нуля вычисляется следующим образом. Нарисуем вокруг нуля небольшую окружность, удовлетворяющую всего двум условиям: (1) она должна содержать только один ноль и (2) она должна быть краем диска (например, на торе такая окружность не может охватывать трубку или центральную дырку). Теперь поместим в каждую точку на окружности воображаемый циферблат. Стрелка циферблата должна указывать в том же направлении, что векторное поле. (Если бы векторное поле описывало магнитное поле, то в качестве циферблата можно было бы использовать компас.) Если мы будем перемещать циферблат вдоль окружности, то стрелка будет поворачиваться. Переместим циферблат на один оборот против часовой стрелки. Всякий раз, как стрелка один раз повернется против часовой стрелки, будем прибавлять к индексу единицу, а всякий раз, как она повернется по часовой стрелке, будем вычитать единицу. Индекс часто называют числом вращения векторного поля вокруг нуля.