Рассмотрим сток на рис. 19.6. Мы видим циферблат в восьми положениях на окружности. Когда циферблат совершает один оборот вокруг окружности против часовой стрелки, его стрелка один раз поворачивается против часовой стрелки. Поэтому индекс стока равен 1. Для седла стрелка совершает один оборот по часовой стрелке, когда циферблат один раз обходит нуль против часовой стрелки. Поэтому индекс седла равен –1. Аналогично вычисляются индексы остальных нулей на рис. 19.4. Индекс источника и центра равен 1, а индекс диполя равен 2.
Теперь опишем второй способ вычисления индекса векторного поля. Он пригодится нам в дальнейшем. Поместим ноль во внутреннюю область многоугольной грани (она может иметь и закругленные ребра). Многоугольник должен удовлетворять нескольким условиям, а в остальном может быть любым. Как и раньше, многоугольник следует выбирать так, чтобы в нем не было других нулей и чтобы он ограничивал диск. Кроме того, потребуем, чтобы любой вектор, начинающийся на ребре, указывал внутрь или наружу. Нам не нужны векторы, указывающие вдоль ребра. (Такой многоугольник всегда существует, хотя это и не очевидно.) На рис. 19.7 мы видим седло внутри квадрата и сток внутри шестиугольника, расположенные таким образом, что все векторы указывают внутрь или наружу.
Рис. 19.6. Индекс стока равен 1, а индекс седла равен –1
Рис. 19.7. Индекс седла равен 2(–1) + 1 = –1, а индекс стока — 6(–1) + 7(–1) = 1
Теперь выделим ребра и вершины, в которых векторное поле указывает внутрь. На каждом таком ребре поставим –1, а в каждой вершине 1. Наконец, поставим 1 в середину многоугольника. Оказывается, что сумма всех этих чисел равна индексу нуля. Мы видим, что это верно для седла и стока на рис. 19.7.
Вот теперь, наконец, мы можем сформулировать теорему Пуанкаре-Хопфа. Она дает топологический способ определить, есть ли ноль у векторного поля (или, что эквивалентно, есть ли неподвижная точка у потока). Кроме того, она проясняет вопрос об относительном числе нулей каждого типа на конкретной поверхности.
Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько примеров. На рис. 19.8 показано три разных векторных поля на сфере. Первое, градиентное векторное поле, имеет сток и источник (оба с индексом 1), второе — два центра (оба с индексом 1), а третье — один диполь (с индексом 2). Во всех трех случаях сумма индексов равна 2 — эйлеровой характеристике сферы.
Рис. 19.8. Три векторных поля на сфере
Выше мы видели, что градиентное векторное поле на торе (рис. 19.3) имеет четыре нуля — один источник, два седла и один сток. Сумма их индексов равна 1 + 2(–1) + 1 = 0, т. е. эйлеровой характеристике тора.
В качестве дополнительного бонуса градиентные векторные поля позволяют вычислять эйлерову характеристику поверхностей, не рисуя вершин, ребер и граней. На рис. 19.9 мы видим сферу, согнутую в виде U-образного тела. Градиентное векторное поле имеет два источника, одно седло и один сток, поэтому сумма индексов равна 2(1) + 1(–1) + 1(1) = 2. Двойной тор имеет один источник, четыре седла и один сток, поэтому χ(двойной тор) = 1 + 4(–1) + 1 = –2. На бутылке Клейна один источник, два седла и один сток, поэтому χ(бутылка Клейна) = 1 + 2(–1) + 1 = 0. Подведем итог:
Рис. 19.9. Эйлеровы характеристики сферы, двойного тора и бутылки Клейна соответственно равны 2, –2 и 0
Теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что если число нулей векторного поля на поверхности конечно, то сумма их индексов равна эйлеровой характеристике. Отсюда следует, что если у векторного поля нет нулей, то эйлерова характеристика поверхности должна быть равна нулю. Поэтому любое векторное поле на поверхности с ненулевой эйлеровой характеристикой обязано иметь по крайней мере один ноль! Эйлерова характеристика сферы равна 2, следовательно, любое векторное поле на сфере должно иметь ноль. Эта знаменитая теорема, которую первым доказал Л. Э. Дж. Брауэр (1881–1966), известный друзьям как «Бертус», в 1911 году171, имеет хорошо запоминающееся название — теорема о причесывании ежа. Так она называется, потому что если рассматривать свернувшегося в клубок ежа (или теннисный мяч) как сферу с векторным полем, то невозможно причесать его так, чтобы ни одна иголка не торчала.