Свой первый вклад Пуанкаре сделал в 1881 году. В этой работе он взял дифференциальное уравнение и построил векторное поле на сфере. Он определил индекс нуля и доказал, что сумма индексов всех нулей равна 25174. Конечно, это не простое совпадение, поскольку 2 совпадает с эйлеровой характеристикой сферы. Пуанкаре явно сформулировал это наблюдение в 1885 году, доказав, что сумма индексов нулей векторного поля на поверхности равна ее эйлеровой характеристике175. В следующем году он определил индекс нуля векторного поля в n-мерном пространстве и представил набросок идеи n-мерной теоремы об индексе. Трудность развития этой программы заключалась в том, что топологического аппарата еще не существовало (его, как мы увидим в главе 23, Пуанкаре создал позднее).
В 1911 году Брауэр обобщил теорему Пуанкаре об индексе на n-мерную сферу Sn. Мы знакомы с S1, единичной окружностью на плоскости (x2 + у2 = 1), и S2, единичной сферой в трехмерном пространстве (x2 + y2 + z2 = 1). Вообще, Sn — это множество точек, удаленных на расстояние 1 от начала координат в (n + 1) — мерном пространстве (x12 + x22 +… + x2n+1 = 1). Брауэр доказал, что для любого векторного поля на Sn сумма индексов нулей равна 0, если n нечетно, и 2, если n четно176. В главах 22 и 23 мы обсудим эйлерову характеристику в многомерных пространствах. И узнаем, что χ(Sn) = 0, когда n нечетно, и χ(Sn) = 2, когда n четно.
Следующим из основных соавторов был Хайнц Хопф (1894–1971). Хопф родился в немецком городе Бреслау (ныне Вроцлав в Польше). Его труды по топологии оказали значительное влияние на математику XX века. Один ученик Хопфа писал: «Хопф с безошибочным инстинктом выбирал глубокие проблемы и давал им возможность созреть. А затем представлял целостное решение, демонстрирующее новые мысли и методы»177.
Рис. 19.13. Хайнц Хопф
В своих мемуарах Хопф отмечает, что поворотным моментом в его математической карьере стал двухнедельный период в 1917 году — отпуск с военной службы во время Первой мировой войны. Он сидел на занятиях в университете Бреслау во время изложения топологической теоремы Брауэра. После службы на Западном фронте, где он был дважды ранен и получил Железный крест, он возобновил изучение математики в университете Бреслау. Его математическая карьера заводила его в несколько немецких университетов, Принстонский университет и, наконец, в Швейцарскую высшую техническую школу (ETH) в Цюрихе.
Через два года после его приезда в Швейцарию к власти в Германии пришла нацистская партия. Хотя он воспитывался в протестантской вере, его отец был евреем. Соломон Лефшец и другие принстонские ученые убеждали Хопфа вернуться, но они с женой отказались покидать Швейцарию, а старались помогать беженцам из Германии. В конце концов, немецкое правительство пригрозило лишить его гражданства в случае невозвращения. С неохотой он отказался от немецкого гражданства и принял швейцарское. После войны Хопф остался в Швейцарии и усердно работал над восстановлением математики в Германии.
Из многочисленных важных вкладов Хопфа в топологию одним из первых стала топология векторных полей. Начиная с 1925 года он опубликовал серию статей, обобщающих теорему Пуанкаре об индексе178. Мы сформулировали теорему Пуанкаре-Хопфа для поверхностей, но Хопф доказал, что она применима и к многомерным обобщениям поверхностей — многообразиям (мы еще поговорим о многообразиях в главе 22).
Хотя теорема Пуанкаре-Хопфа обычно формулируется для замкнутых поверхностей, математики открыли различные ее обобщения. Существует очень общий вариант для поверхностей с краем179, но мы сформулируем следующую более простую версию.
Теорема о причесывании ежа неприменима к нашим головам, потому что волосистая часть головы человека топологически не является сферой — это диск. И действительно, в «зачесанных назад» прическах и «конских хвостах» волосы не торчат. Но у человека, подстриженного «ежиком», волосы часто растут в направлении от центра головы — вниз на затылке, к ушам по бокам и в сторону лица спереди. Поскольку это «волосяное» векторное поле направлено наружу вдоль края, то сумма индексов нулей должна быть равна χ(диск) = 1. Поэтому в каком-то месте головы должен быть вихор. У маленькой дочки автора (на голове у которой пока еще растет пушок) есть зачатки трех вихров, двух спиралей, закрученных наружу (все с индексом 1) и седло между ними (с индексом 0).