Рис. 19.17. Векторное поле для функции из В2 в себя
Интерпретировать эту замечательную теорему можно, например, следующим образом. Рассмотрим случай n = 2. B2 — это диск на плоскости, т. е. область, ограниченная единичной окружностью S1. Представим, что это столовая тарелка. Накроем ее листом бумаги, по размеру не меньшим тарелки, а затем отрежем свисающие части. Теперь возьмем бумагу, сомнем ее в комок (но не рвать!) и снова положим на тарелку. Теорема Брауэра утверждает, что на бумаге найдется точка, расположенная в точности против того места на тарелке, где была раньше. Такое же рассуждение показывает, что если проектировщик одноэтажного гипермаркета поместит его карту в любом месте на полу, то он сможет поставить на карте крестик, означающий «вы находитесь здесь».
Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы Пуанкаре-Хопфа (ее варианта для поверхностей с краем). Мы будем рассматривать случай n = 2, но для больших n доказательство точно такое же. Начнем с функции f из B2 в себя. Определим на B2 векторное поле следующим образом: каждой точке x, принадлежащей B2, сопоставим вектор, начинающийся в x и заканчивающийся в f(x) (см. рис. 19.17). B2 — поверхность с краем, и все векторы, начинающиеся в точках края, направлены внутрь, поэтому условия теоремы Пуанкаре-Хопфа выполнены. Поскольку 'χ(B2) = 1 ≠ 0, векторное поле должно иметь хотя бы один ноль. Но нулевой вектор соответствует точке y, для которой f(y) = y. Иными словами, f должна иметь хотя бы одну неподвижную точку.
На самом деле теорема Брауэра применима к любому телу, гомеоморфному Bn. Кофе в чашке гомеоморфно B3. Как следует размешайте кофе в чашке (но не проливайте ни капли!) и подождите, пока оно снова успокоится. Тогда, по теореме Брауэра о неподвижной точке, найдется молекула кофе, находящаяся точно в том же месте, что и в самом начале.
В этой главе мы видели, что топология объекта, определяемая одной лишь характеристикой Эйлера, может влечь за собой глобальное поведение, которое, казалось бы, не имеет никакого отношения к глобальной топологии, — существование неподвижных точек у потоков и функций. В следующих двух главах мы увидим, что топология фигуры может определять также некоторые ее глобальные геометрические свойства.
Приложения к главе
170. Frost (2002), 308.
171. Brouwer (1912).
172. цитируется по Dieudonne (1975).
173. Dieudonne (1975).
174. Poincare (1881).
175. Poincare (1885).
176. Brouwer (1912).
177. Beno Eckmann, quoted in Frei and Stammbach (1999).
178. Hopf (1925); Hopf (1926a); Hopf (1926b).
179. Morse (1929).
180. Thurston (1997).
181. Brouwer (1909).
182. Brouwer (1912).
Глава 20
Когда топология управляет геометрией
…нам осталось
найти причину этого эффекта,
Или, верней, дефекта, потому что
Дефектный сей эффект небеспричинен.
Вот что осталось, и таков остаток.
— Вильям Шекспир, «Гамлет» 183
На протяжении большей части этой книги мы держались в стороне от жестких рамок геометрии и имели дело с куда более подвижной топологической средой. В этой и следующей главах мы вернемся к геометрии. Мы будем изучать многоугольники, многогранники, кривые и поверхности, сделанные не из резины, а из прочнейшей стали. Однако на эти геометрические объекты все равно можно взглянуть с топологической точки зрения — многоугольники и кривые гомеоморфны окружности, а многогранники и поверхности гомеоморфны сфере или тору с g дырками.
Мы представим целый ряд теорем, демонстрирующих удивительную связь между топологией и геометрией этих фигур. Мы увидим, что эйлерова характеристика позволяет предсказывать некоторые их геометрические свойства. Нашей конечной целью станут три теоремы. В этой главе мы познакомимся с формулой Декарта для многогранников и теоремой об угловом избытке для поверхностей, а в следующей рассмотрим теорему Гаусса-Бонне для поверхностей. Они показывают, что некоторые геометрические свойства (связанные с углами и кривизной) полностью определяются топологией (которая описывается эйлеровой характеристикой). Таким образом, мы увидим, как топология может управлять геометрией.