Рис. 20.3. Касательный вектор к простой замкнутой кривой совершает оборот на 2π
Это наблюдение может показаться очевидным (и так оно и считалось долгое время), но доказать его трудно. В 1935 году Хопф доказал теорему185, которая сейчас известна под названием теоремы о вращающихся касательных.
Нетрудно заметить связь между теоремой о сумме внешних углов и теоремой о вращающихся касательных. На самом деле можно сформулировать комбинированную теорему, в которой кривая является гладкой всюду, кроме конечного числа крутых поворотов. Автомобиль, движущийся по извилистой дороге, который иногда вынужден делать крутые повороты, к моменту возврата в исходную точку совершит полный оборот на 360°.
Возвращаясь к исходному утверждению, мы можем спросить, как эти теоремы связывают две математические дисциплины. Они показывают, что топология в некотором смысле управляет геометрией. Тополог не может различить многоугольники и простые замкнутые гладкие кривые. Все они в его глазах являются окружностями. Тополог ничего не говорит об углах, прямолинейности, касательных векторах и т. д. Для геометра все многоугольники и все простые замкнутые гладкие кривые различаются, он описывает объекты в терминах вершин, кривизны и других характеристик. Теорема о сумме внешних углов и теорема о вращающихся касательных говорят, что гомеоморфность окружности полностью определяет одно геометрическое свойство — полный угловой недостаток фигуры. Как бы она ни изгибалась, ее полный угловой недостаток равен 2π.
Теперь мы рассмотрим, как обобщить эти две теоремы и получить формулу Декарта для многогранников и теорему об угловом избытке для поверхностей.
Возьмите квадратный лист бумаги, ножницы и клейкую ленту. Разделите бумагу на четыре квадранта и отрежьте один из них (этот кусочек пригодится в дальнейшем). Затем склейте обе стороны, по которым разрезали, — получится уголок прямоугольной коробки (рис. 20.4).
Рис. 20.4. В вершине куба полный угол равен 3π/2
Мы определили угловой недостаток в вершине многоугольника как величину, на которую ломаная отличается от прямой линии. Аналогично определим угловой недостаток телесного угла как величину, которой ему недостает, чтобы стать плоскостью. В нашем примере четыре прямых угла (2π) сходятся в центре листа бумаги, и один из них отрезан (осталось 3π/2). Поэтому угловой недостаток в вершине куба равен 2π — 3π/2 = π/2.
Возьмите еще один квадратный лист бумаги. Как и раньше, разделите его на квадранты. Сделайте один разрез от края к центру (рис. 20.5). Возьмите отрезанный ранее квадратик и приклейте две его стороны к краям разреза сложенного листа бумаги. В результате оказывается, что углов слишком много. Мы получили конфигурацию, напоминающую кирпичную стену, из которой вынут один кирпич. Полный угол при центральной вершине равен 5π/2, т. е. на π/2 больше, чем плоский угол. В этом случае говорят, что имеется угловой недостаток —π/2, или угловой избыток π/2.
У многогранника много вершин, и в каждой из них свой угловой недостаток (или угловой избыток). Для получения полного углового недостатка многогранника нужно сложить угловые недостатки во всех вершинах.
Рис. 20.5. В этой вершине полный угол равен 5π/2
Рассмотрим несколько примеров. В каждой из восьми вершин куба угловой недостаток равен π/2, поэтому полный угловой недостаток равен 4π. Четырьмя гранями тетраэдра являются равносторонние треугольники. Поскольку в каждой вершине сходятся три равносторонних треугольника, угловой недостаток в ней равен 2π — 3(π/3) = π. Всего вершин четыре, поэтому полный угловой недостаток равен 4π. Наконец, рассмотрим невыпуклый многогранник на рис. 20.6: большой куб, из которого вырезан маленький угловой кубик (представьте себе кубик Рубика с вытащенным угловым элементом). В вершинах с метками от 1 до 10 угловой недостаток равен π/2. Вершина 11 «обращена не в ту сторону», но угловой недостаток в ней тоже равен π/2. В оставшихся вершинах (12, 13 и 14) имеет место угловой избыток π/2. Таким образом, полный угловой недостаток равен 11(π/2) + 3(—π/2) = 4π.