Рис. 20.6. В этом невыпуклом многограннике полный угловой недостаток по-прежнему равен 4π
Теперь можно говорить о закономерности и высказать гипотезу о том, что полный угловой недостаток любого многогранника равен 4π. Это впервые заметил Декарт в неопубликованных записках «Об элементах геометрических тел», которые мы обсуждали в главе 9. В третьем предложении этих записок читаем:
Как в плоской фигуре [многоугольнике] все внешние углы, взятые вместе, равны четырем прямым углам [2π], так и в геометрическом теле [многограннике] все внешние телесные углы [угловые недостатки], взятые вместе, равны восьми прямым углам [4π]186.
Как указал Декарт, параллели с теоремой о сумме внешних углов очевидны. Как сумма угловых недостатков многоугольника равна 2π, так и сумма угловых недостатков многогранника равна 4π.
Слегка отличающийся вариант этой теоремы был заново открыт Эйлером и включен в его статьи о формуле для многогранников187. Эйлер доказал, что сумма всех плоских углов многогранника, имеющего V вершин, равна 2π(V — 2). Если формула Декарта обобщает теорему о сумме внешних углов многоугольника, то формула Эйлера — теорему о сумме внутренних углов. Легко видеть, что результаты Эйлера и Декарта эквивалентны. Полный угловой недостаток равен просто 2π V минус сумма всех плоских углов, или 2πV — 2π(V — 2) = 4π.
Разумеется, Эйлер и Декарт рассматривали только выпуклые многогранники. Но оказывается, что после небольшой модификации теорема применима ко всем многогранникам, даже топологически не являющимся сферами. Полный угловой недостаток — это топологический инвариант, имеющий простую связь с эйлеровой характеристикой многогранника.
Куб, тетраэдр и куб с вырезанным уголком топологически эквивалентны сфере, поэтому их эйлерова характеристика равна 2, а значит, полный угловой недостаток равен 2πχ(Р) = 2π 2 = 4π. В качестве тела, отличного от сферы, рассмотрим многогранный тор, показанный на рис. 20.7. В нем шестнадцать вершин, в восьми из них угловой недостаток равен π/2, а в остальных восьми имеется угловой избыток π/2 (угловой недостаток —π/2). Поэтому полный угловой недостаток равен нулю — эйлеровой характеристике тора. Предлагаем читателю проверить формулу Декарта для бумажного многогранника из приложения A.
Докажем формулу Декарта. Пусть P — многогранник с V вершинами, E ребрами и F гранями, а T — полный угловой недостаток P. Мы должны показать, что T = 2πχ(Р) = 2πV — 2πE + 2πF.
Выберем любую грань многогранника. Предположим, что ее плоские углы равны a1…, an. По теореме о сумме внутренних углов:
a1 +… + an = (n — 2)π.
После перегруппировки членов получаем:
(a1 +… + an) — nπ +2π = 0.
Рис. 20.7. Полный угловой недостаток тора равен нулю
Это равенство можно наглядно представить следующим образом. Если написать —π на каждом ребре грани, величину угла в каждой вершине и 2π в середине грани (см. рис. 20.8), то сумма этих величин будет равна 0.
Рис. 20.8. Для π-угольника (a1 +… + an) — nπ + 2π = 0
Проделаем то же самое для всех граней P и просуммируем. Каждая грань вносит в сумму 2π, а каждое ребро –2π (по —π с каждой стороны). Поэтому
S — 2πЕ + 2πF = 0,
где S — сумма всех внутренних углов P. Теперь прибавим T, полный угловой недостаток, к обеим частям равенства:
(T + S) — 2πЕ + 2πF = T.
Поскольку T — полный угловой недостаток, то, прибавив T, мы прибавили ровно столько, что сумма углов при каждой вершине снова стала равна 2π. Иными словами, T + S равно 2πV. Стало быть, T = 2πV — 2πЕ + 2πF = 2πχ(Р).
Формула Декарта — красивая иллюстрация связи между топологией и геометрией. Поскольку полный угловой недостаток выражается через эйлерову характеристику, мы видим, что топология многогранника полностью определяет один из аспектов его глобальной геометрии.
В качестве приложения этой теоремы предлагаем читателю найти новое доказательство того, что платоновых тел всего пять.
В этой книге мы, как правило, предполагали, что ребра, разбивающие поверхность на грани, — топологические сущности. Ребра можно произвольно изгибать и создавать грани самой причудливой формы. В этой главе мы рассматриваем гораздо менее разнузданную дисциплину — геометрию. В идеале хотелось бы, чтобы грани были многоугольниками с прямолинейными ребрами. На искривленной поверхности ребра не могут быть прямыми, поэтому взамен мы требуем, чтобы они были геодезическими кривыми.