Рис. 21.3. Поверхности, для которых k1, k2 < 0 (слева), k1 > 0, k2 < 0 (в центре) и k1 = 0, k2 > 0 (справа)
Именно таким способом геометры измеряли кривизну поверхностей, пока Гаусс не внес простую, но критически важную модификацию. Он перемножил главные кривизны и получил единственное значение кривизны, которое теперь называется гауссовой кривизной: k = k1k2. Эта, на первый взгляд, тривиальная операция, которая дает величину, содержащую меньше информации, чем две главные кривизны по отдельности, помогла математикам лучше понять природу кривизны поверхностей.
Как ни странно, большинство великих математиков в детстве не были вундеркиндами; их гений созревал постепенно и проявлялся на более поздних этапах жизни. Но математические способности Гаусса были очевидны уже в юном возрасте. Он родился в 1777 году в немецком герцогстве Брауншвейг. В три года Гаусс поразил своего отца Герхарда, указав ошибку в арифметических вычислениях в бухгалтерских книгах. Позже Гаусс по субботам сиживал на высоком стуле и помогал отцу.
В молодости Гаусс любил рассказывать, как в семилетнем возрасте он шокировал тупого и заносчивого школьного учителя. Учитель дал классу задание: вычислить сумму арифметической прогрессии (пусть это будет190 1 + 2 + 3 +. + 100). Гаусс почти сразу написал на своей грифельной доске число 5050, положил ее на стол скептически настроенного учителя и заявил «ligget se» (вот она). Вместо того чтобы выполнять утомительное суммирование, Гаусс заметил, что если сложить первое число с последним, второе с предпоследним и т. д., то каждая сумма будет равна 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…). Поскольку таких пар пятьдесят, то сумма должна быть равна 50 101 = 5050.
Рис. 21.4. Карл Фридрих Гаусс
Этот случай в классе положил начало цепочке событий, которая в 1791 году привлекла к Гауссу внимание герцога брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда. Герцог был очарован четырнадцатилетним юношей и пообещал оплатить его обучение. Щедрый герцог заплатил за обучение Гаусса в колледже Каролинум и в Гёттингенском университете, а затем продолжал выплачивать ему жалованье до самой своей смерти от рук наполеоновской армии в 1807 году.
Предчувствие не обмануло герцога. Свой первый важный результат, доказательство закона взаимности квадратичных вычетов, он получил, когда ему было девятнадцать лет. Эта теорема, которую он называл theorema aureum (золотая теорема), ускользнула от внимания и Эйлера, и Лагранжа.
В качестве своей личной печати Гаусс выбрал дерево с несколькими плодами и словами pauca sed matura (немного, но зрелые). Этот девиз действительно сопровождал Гаусса на протяжении всей карьеры. В отличие от плодовитого Эйлера, Гаусс не спешил публиковать свои работы. Он никогда не отдавал в печать тривиальных результатов, настаивая на том, что каждая публикация должна быть шедевром. Он говорил: «Вы знаете, что я пишу медленно. Это в основном потому, что я не бываю удовлетворен, пока не выскажу как можно больше в немногих словах, а писать быстро отнимает гораздо больше времени, чем писать со всеми деталями»191. Гаусс оставил свой след во многих науках: астрономии, геодезии, теории поверхностей, конформных отображениях, математической физике, теории чисел, теории вероятностей, топологии, дифференциальной геометрии и комплексном анализе.
Из-за стремления к совершенству Гаусс не опубликовал много блестящих результатов. Его математический дневник (Notizenjournal), обнаруженный через сорок три года после смерти, — кладезь математических идей. Если бы Гаусс опубликовал только часть этих результатов и ничего больше, то и тогда его запомнили бы как влиятельного математика. Печально сознавать, что математики годами трудились, только чтобы заново открыть идеи, уже известные Гауссу. Интересно, как далеко продвинулась бы математика XIX века, если бы Гаусс с большей охотой обнародовал свои результаты.
После смерти герцога Гаусс был вынужден занять пост директора Гёттингенской обсерватории. Значительную часть последних двадцати лет жизни он потратил на занятия астрономией в обсерватории. Он дожил до 78 лет и мирно упокоился 23 февраля 1855 года.