Грубо говоря, глобальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что, растягивая и сжимая поверхность, мы можем изменить ее локальную кривизну, но полная кривизна не изменится. Все новые области положительной кривизны будут компенсированы новыми областями отрицательной кривизны. Роль играет только топология поверхности.
Может показаться странным, что локальная кривизна бильярдного шара отличается от локальной кривизны Земли, ведь форма-то у них одинакова, а различны только размеры. Глобальная теорема Гаусса-Бонне разрешает эти сомнения. Хотя кривизна Земли гораздо меньше кривизны бильярдного шара, ее площадь гораздо больше. А полная кривизна того и другого одинакова. Прибавление большого числа маленьких величин — то же самое, что прибавление одной большой.
Объединив теорему Гаусса-Бонне с теоремой классификации (глава 17) для ориентируемых поверхностей, мы придем к интересным выводам. Например, сфера — единственная замкнутая поверхность с положительной эйлеровой характеристикой. Поэтому любая поверхность положительной полной кривизны должна быть гомеоморфна сфере. Аналогично, если полная кривизна замкнутой поверхности равна нулю, то она должна быть гомеоморфна тору. У любой другой замкнутой ориентируемой поверхности (рода g, где g > 1) полная кривизна должна быть отрицательна.
Хотя и Гаусс, и Бонне прошли мимо этого глобального варианта теоремы, Вильгельм Бляшке (1885–1962) решил назвать его в их честь в учебнике, который написал в 1921 году194. Именно в этой книге появилось доказательство глобальной теоремы, в котором используется локальная теорема. А первое доказательство глобальной теоремы Гаусса-Бонне датируется 1888 годом, когда Дик доказал ее совершенно другим способом195. И снова мы видим, как неожиданно иногда дают имена теоремам.
В этой и предыдущей главах мы видели красивые и неожиданные связи между топологией и геометрией. Мало того что эйлерова характеристика является топологическим инвариантом, она еще и служит соединительным звеном между двумя совсем разными дисциплинами. Это еще одна причина, по которой формула Эйлера является фундаментальным явлением в математике. В следующих двух главах мы увидим, как эйлерова характеристика обобщается на многомерные объекты.
Приложения к главе
188. Bell (1937), 254.
189. Euler (1760).
190. Обсуждение этой истории см. в Hayes (2006).
191. Quoted in Simmons (1992), 177.
192. Gauss (1828); английский перевод и комментарии в Dombrowski (1979).
193. Bonnet (1848).
194. Blaschke (1921).
195. Dyck (1888).
Глава 22
Путешествие в n измерениях
Лиза: Где мой папа?
Профессор Фринк: Даже самому недалекому человеку, имеющему научную степень по гиперболической топологии, должно быть очевидно, что Гомер Симпсон забрел в третье измерение… [рисует на доске]. Вот обыкновенный квадрат —
Шериф Виггам: Эй, притормози, яйцеголовый!
Профессор Фринк: — но допустим, что мы продолжили квадрат за пределы двух измерений нашей Вселенной вдоль гипотетической оси z [все затаили дыхание]. Тогда получится трехмерный объект, именуемый «кубом», или «фринкаэдром» в честь его первооткрывателя.
— Симпсоны, «Хэллоуинские эпизоды, VI»
До сих пор все наши топологические объекты были кривыми или поверхностями — локально одномерными или двумерными объектами, расположенными в 2-, 3- или 4-мерном пространстве. Поверхности опологическим обобщением многогранника, а формула Эйлера для многогранников была элегантно обобщена на эйлерову характеристику поверхностей. Теперь естественно спросить, что можно сказать о многомерных топологических фигурах. Что это такое и существует ли для них понятие эйлеровой характеристики?
В главе 23 мы увидим, что Пуанкаре определил эйлерову характеристику в многомерных топологических пространствах и доказал, что это топологический инвариант. Но прежде чем обсуждать результаты Пуанкаре, следует поговорить о понятии размерности и некоторых ранних попытках обобщить эйлерову характеристику.