К этому времени относятся замечательные работы Гаусса в области арифметики и геометрии. Уже тогда оп допускал возможность иной геометрии, чем эвклидова; однако по этому вопросу он ничего не публиковал. Его результаты в области теории чисел были опубликованы лишь в 1801 г. в «Арифметических исследованиях», в этой, по мнению мпогих, одной из самых замечательных математических книг. В 1807 г. Гаусс получил кафедру математики и астропомип и пост директора обсерватории в Геттингене, где он работал и прожпл практически безвыездно до конца жпзтпх.
Круг работ Гаусса очень широк. В области небесной механики он создал методы расчета орбит планет по малому числу паблюдешш, первым результатом которых бы-до обнаружение потерянного астероида Цереры, открытого в 1801 г. В течение многих лет Гаусс был советником правительств Ганновера и Дании по вопросам картографии. Работы по геодезии привели его к важнейшим результатам в области дифференциальной геометрии и теории поверхностей. Гаусс был прекрасным наблюдателем. Совместно с Вебером Гаусс предпринял цикл абсолютных измерений электрических и магнитных единиц, а также систематические измерения элементов магнитного поля, приведшие при их обработке к важным результатам в теории потенциала. Созданные им способы обработки измерений лежат в основе современных методов статистической теории ошибок.
Гаусс обладал колоссальной работоспособностью; но он не спешил с публикацией своих работ. Многие результаты, полученные Бесселем, Гамильтоном, Абелем. Якоби, Коши, были затем обнаружены в записках и письмах Гаусса, при публикации 12 томов его полного собрания сочинений. Для Гаусса математика была единой, и он, так же как Эйлер, не проводил резкой границы между чистой и прикладной математикой. Однако, в отличие от Эйлера, работы Гаусса написаны так, что подходы к задаче, развитие идеи ее решения ускользают от читателя, отражая, быть может, его скрытный и замкнутый характер. Гаусс более всего был заинтересован в решении определенных проблем; обоснование анализа, предпринятое в ту пору Коши, его мало беспокоило.
Ниже мы приводим предисловие к «Арифметическим исследованиям» (1801).
Содержащиеся в этом сочинении исследования относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми чпслами, в то время как дробные числа остаются вне рассмотрения в большинстве случаев, а мнимые — всегда. Так называемый неопределенный или диофантов анализ, представляющий собой учение о том, как из бесконечного числа решений,, удовлетворяющих неопределенному уравнению, выбрать те, которые являются целочисленными или хотя бы рациональными (а в большинстве случаев еще и положительными), не исчерпывает этой дисциплины, а представляет собой лишь очень специальную ее часть, которая относится ко всей дисциплине приблизительно так же, как учение о преобразовании и решении уравнений (алгебра) относится к анализу в целом. Именно, как все исследования, которые касаются общих свойств числовых величин и связей между ними, принадлежат к области анализа, так целые числа (а также и дробные, поскольку они определяются через целые) составляют предмет изучения арифметики. Но так как то, что обычно принято называть арифметикой, почти не выходит за пределы искусства считать и вычислять (т.е. представлять числа в определенном виде, например, в десятичной системе, и производить над ними арифметические операции) с добавлением еще некоторых вопросов, которые или вовсе не относятся к арифметике, как, например, учепие о логарифмах, или имеют силу не только для целых чисел, но и для любых числовых величин, то представляется целесообразным различать две частя арифметики и только что упомянутое причислять к элементарной арифметике, а все общие исследования о внутренних связях между целыми числами относить к высшей арифметике, о которой одной здесь и будет идти речь.
К высшей арифметике относится то, что Эвклид с присущими древним изяществом и строгостью изложил в «Началах», в книге VII и следующих; однако это представляет собой лишь первые шаги этой науки. Знаменитое сочинение Диофанта, целиком посвященное проблемам неопределенного анализа, содержит много исследований, которые вследствие их трудности и красоты методов свидетельствуют об уме и проницательности их автора, особенно, если учесть незначительность вспомогательных средств, находившихся в его распоряжении. Так как, однако, эти задачи больше требуют находчивости и сообразительности чем глубоких методов, и, кроме того, являются слишком специальными и редко приводят к более общим выводам, то эта книга рассматривается как эпоха в развитии математики скорее потому, что она содержпт в себе первые следы искусства, характерного для алгебры, а не потому, что она обогатила новыми открытиями высшую арифметику. Главным образом более поздним исследователям, правда, немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу,— таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой Зожественной науки и показали, какими богатствами она наполнена.