Мы приводим вступление к мемуару Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1889) и предисловие к его кпиге «Новые методы в небесной механике» (1892).
ПЕРВЫЙ МЕМУАР
Полная теория функции, определяемых дифференциальными уравнениями, была бы чрезвычайно полезна для большого числа вопросов математики и механики. К сожалению, сразу видно, что в громадном большинстве случаев, с которыми нам приходится иметь дело, эти уравнения не могут быть проинтегрированы с помощью уже известных нам функций, например, с помощью функций, определяемых квадратурами. И если бы мы захотели ограничиться только теми случаями, которые можно изучить при помощи определенных или неопределенных интегралов, то область наших исследований оказалась бы чрезвычайно суженной, и огромное большинство вопросов, встречающихся в приложениях, осталось бы нерешенным.
Необходимо, следовательно, изучать функции, определяемые дифференциальными уравнениями сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это было сделано по отношению к алгебраическим функциям, которые сначала пытались свести к радикала^ а теперь изучают непосредственно, так же, как это было сделано по отношению к интегралам от алгебраических дифференциалов после долгих попыток выразить их в конечном виде.
Таким образом, исследование свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями,— задача, представляющая величайший интерес. Первый шаг на этом пути уже был сделан, когда было изучено поведение функции, определяемой дифференциальным уравнением, в окрестности какой-либо заданной точки плоскости. Задача, стоящая теперь перед нами,— это пойти дальше и изучить поведение этой функции на всем протяжении плоскости. В этом исследовании нашей отправной точкой, очевидно, будут служить уже известные результаты, относящиеся к поведению такой функции в некоторой области плоскости.
Полное исследование функций состоит из двух частей:
1) качественной (если можно так выразиться) части, или геометрического изучения той кривой, которая определяется этой функцией;
2) количественной части, или вычисления численных значений функции.
Так, например, для того чтобы исследовать алгебраическое уравнение, мы сначала определяем, с помощью теоремы Штурма, число действительных корней — это качественная часть; затем находим числовые значения этих корней — в этом заключается количественное изучение уравнения. Точно так же, для того чтобы изучить алгебраическую кривую, мы начинаем с построения этой кривой (как принято выражаться в соответствующих математических курсах), т.е. определяем наличие замкнутых ветвей, бесконечных ветвей и т.д.
После этого качественного изучения кривой можно точно определить некоторое число ее точек.
Естественно, что именно в качественной части должно начинаться исследование всякой функции, и поэтому проблема, которая в первую очередь встает перед нами,— это построение кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.
Это качественное исследование, когда оно будет полностью выполнено, будет очень полезно для вычисления численных значений искомой функции и позволит более просто установить сходящийся ряд, изображающий искомую функцию в некоторой части плоскости, и главная трудность заключается именно в отыскании надежного критерия для перехода от одной области, где функция определена одним сходящимся рядом, к другой области, где она выражается с помощью другого ряда.
С одной стороны, это качественное исследование и само по себе представляет первостепенный интерес. К нему могут быть сведены различные, исключительно важные вопросы анализа и механики. Возьмем в качестве примера задачу трех тел. Разве нельзя поставить вопрос, будет ли одно из этих тел всегда оставаться в некотором участке неба гогп оно сможет удалиться в бесконечность? Или вопрос о том, будет ли расстояние между двумя из этих тел неограниченно убывать, или. напротив, это расстояние будет всегда заключено в определенных пределах? Разве нельзя поставить тысячу вопросов такого рода, и все эти вопросы будут разрешены, как только мы сумеем качественно построить траектории этих трёх тел. И если рассматривать большее число тел, то чем иным является вопрос о неизменности элементов планет, как не подлинным вопросом качественной геометрии? Так как показать, что большая ось не имеет вековых изменений, это значит обнаружить, что она постоянно колеблется между некоторыми определенными границами.