Под именем Никола Бурбаки известна группа ученых, доставивших себе целью дать систематическое изложение всей современной математики, следуя аксиоматическому методу. Эта идея, восходящая еще к Давиду Гильберту, была осуществлена в серии монографий «Элементы математики», которая начала выходить с 1939 года. За 30 лет таким образом было написано более 40 книг. Точный состав группы, в которую входят в основном французские математики — главным образом питомцы Нормальной школы, держится в тайне. Одпако представление как об идейных истоках, так и о составе группы Бурбаки можно получить из следующего иронпческого траурного сообщения, разосланного в 1969 г. по ведущим математическим институтам мира в связи с предполагаемым прекращением деятельности этого уникального творческого коллектива. Ниже следует перевод текста, полученного в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР:
"Семейства Кантор, Гильберт, Нётер; семейства Картан, Шеваллье, Дьедонне, Вейль; семейства Брюа, Диксмье, Годеман, Самюэль, Шварц; семейства Демазюр, Дуадн, Жиро, Вердье; семейства, фильтрующиеся вправо, и строгие эпиморфизмы мадемуазели Адель и Идель с прискорбием сообщают о кончине господина Никола Бур-баки, соответственно их отца, брата, сына, внука, правнука и внучатого племенника, почившего в бозе 11 ноября 1968 года в День Победы в своем имении в Нанкаго.
Погребение состоится в субботу 23 ноября 1968 года, в 15 часов, на кладбище Случайных функций (станция метро Марков и Гедель).
Сбор перед баром «У прямых произведений», перекресток Проективных резольвент (бывшая площадь Кошуля).
По воле покойного, мессу в Соборе Богоматери универсальных проблем отслужит Его Преосвященство кардинал Алеф Первый, в присутствии уполномоченных представителей всех классов эквивалентности и слоев замкнутых отображений. Память покойного минутой молчания почтят воспитанники Высших Нормальных школ и Классов Черна.
Цветы, венки и сплетения просьба не возлагать.
«Ибо, Господь есть Александровская компактификация Вселенной» (Евангелие от Гротендика, гл. IV, стр. 22)»“.
Ниже следует введение к первому тому «Элементов математики» — «Теории множеств» (1938), где формулируется точка зрения авторов этого всеохватывающего труда.
Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство». Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства, в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой мы хомм придать ему здесь. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпоху, когда понятие доказательства было под угрозой утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы искали именно у греков. Однако к столь славному наследию в течение последнего века прибавились новые важные завоевания.
Действительно, анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точка зрения как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных «слов», соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации и таблица логарифмов »суть формализованные тексты* Формулы обычного алгебраического псчисления т&кже будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.
Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимапия, так как единственные возможные источники ошибок — это длпна или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. Напротив, в неформализованном тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Однако в действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, «строгости», доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализаций, которыми мы сейчас располагаем, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другпмн подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением (быть может, очень тягостным) в терпении. Если, как нередко бывает, возникают сомнения, то в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации — употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Если оставить в стороне последний случай, то непременно рано или поздно сомнения преодолеваются тем, что текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы пе станет излишним. Иными слрвамн, правильность математического текста всегда проверяется более или менее явным сравнением с правилами какого-либо формализованного языка.