Уравнения движения тепла, так же как уравнения, описывающие колебания тел, либо колебания жидкостей, принадлежат к недавно открытой области математики, которую было важно усовершенствовать. Установив дифференциальное уравнение, нужно было найти их интегралы — перейти от общего выражения к конкретному решению, подчиненному определенным условиям. Эти трудные исследования требовали специального анализа, основанного на новых теоремах, сущность которых мы здесь не можем изложить. Вытекающий отсюда метод не оставляет места ничему неясному или неопределенному в решениях. Эти решения дают численный ответ — необходимое условие для всех исследований, без них можно прийти только к бесполезным преобразованиям.
Те самые теоремы, которые дали нам интегралы уравнений движения тепла, нашли немедленное применение также к вопросам общего анализа и динамики; решение этих вопросов давно было желательным.
Углубленное изучение природы является самым плодотворным источником математических открытий. Придавая исследованиям определенную цель, изучение природы не только имеет то преимущество, что оно исключает неясные вопросы и безрезультатные вычисления. Оно, кроме того, является верным средством создания самого анализа и обнаруживает элементы, которые нам важнее всего узнать и которые всегда должны быть, сохраняемы этой наукой; это те основные элементы, которые повторяются во всех явлениях природы.
Мы видим, например, что одно и то же уравнение, которое математически рассматривали как выражение абстрактных свойств и которое в этом отношении принадлежит общему анализу, одновременно является уравнением движения света в атмосфере; это же выражение описывает законы диффузии тепла в твердом веществе, и оно же входит во все главные задачи теории вероятностей.
Аналитические уравнения, неизвестные древним геометрам, которые Декарт ввел для изучения кривых и поверхностей, не ограничиваются только свойствами геометрических тел или предметом рациональной механики; они распространяются на все общие явления. Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишенного ошибок и неясностей, т.е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира.
Рассматриваемый с этой точки зрения математический анализ так же всеобъемлющ, как сама природа; анализ выражает связь всех явлений, дает меру времени, пространству, силе, температуре. Эта трудная наука создается медленно, но она сохраняет все принципы, однажды приобретенные; она постоянно растет и крепнет среди стольких колебаний и ошибок человеческого разума. Главным атрибутом анализа является ясность; у нас нет знаков для выражения неясных понятий. Он сближает самые разнообразные явления и обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии. Если материя, как воздух и свет, ускользает от нас в силу своей тонкости, если тела помещены далеко от нас в бесконечности пространства, если человек желает узнать картину небес в последующие эпохи, отделенные от нас многими веками, если явления гравитации и тепла происходят в недрах земного шара, на тех глубинах, которые всегда будут нам недоступными, то математический анализ и тогда осветит законы этих явлений. Он делает их реальными и измеримыми. Математический анализ, являясь способностью человеческого разума, восполняет краткость нашей жизни и несовершенство наших чувств. Еще более замечательно то, что математический анализ идет одной и той же дорогой в изучении всех явлений; он объясняет их одним языком, как бы для того, чтобы подчеркнуть единство и простоту устройства Вселенной и еще раз указать на неизменность истинных законов природы.
Теория тепла дает множество примеров этих простых и постоянных положений, которые порождаются общими законами природы. Если бы порядок, установленный в этих явлениях, мог быть охвачен нашими чувствами, то у нас возникло бы ощущение гармонии, сравнимое с чувством гармонии звука.
Формы тел бесконечно разнообразны; распределение тепла, проникающего в них, может быть произвольным и неясным; но все неравномерности распределения быстро стираются и исчезают по истечении времени. Ход явления становится более упорядоченным и простым. Наконец, они подчиняются определенному закону, одинаковому для всех случаев, и мы не видим уже никаких заметных следов начальных условий. Все наблюдения подтверждают эти следствия. Анализ, из которого они вытекают, различает и ясно объясняет: 1) общие условия, т.е. те, которые являются результатом естественных свойств тепла; 2) случайное, но существующее влияние формы и состояния поверхностей; 3) переходные явления первоначального распределения.