Родился в семье священника. В девятилетнем возрасте поступил в духовную семинарию в Москве. В 1780 году перешёл в гимназию при Московском университете, в 1782 — поступил в Московский университет, который окончил в 1785 году. Печататься Бобров начал с 1784 года.
После окончания университета переехал в Петербург. В 1787 году определился в «канцелярию Сената к герольдмейстерским делам». Работал переводчиком в государственнойАдмиралтейств-коллегии и состоял в Комиссии о составлении законов. С 1792 года служил в Черноморском адмиралтейском управлении у адмирала Н. С. Мордвинова, около десяти лет провёл на юге России.
В 1800-х годах Бобров печатался в изданиях, близких к Вольному обществу любителей словесности, наук и художеств («Северный вестник», «Лицей», «Цветник»), а в 1807 году был официально принят в число сотрудников общества. В 1805 году участвовал в спорах о языке на стороне «архаистов» (Происшествие в царстве теней, или Судьбина российского языка), что предопределило негативное отношение к нему в стане «карамзинистов», где он был прозван «Бибрисом» (от лат. bibere — пить). Этими эпиграмматическими отзывами (П. А. Вяземского, К. Н. Батюшкова и А. С. Пушкина, называвшего его «тяжёлым Бибрусом») имя Боброва спасено от забвения.
В конце жизни много пил, жил в бедности. Скончался от чахотки в Петербурге: погребён на Волковом кладбище
Комментарии и оценки к книгам автора