Главным открытием Декарта в математике подавляющее большинство ученых считает, конечно, легендарную систему координат, получившую впоследствии название декартовой. Хотя система, разработанная непосредственно Декартом, еще значительно отличалась от современной – он берет некоторую прямую с фиксированной точкой отсчета и рассматривает кривую относительно этой прямой. Положения точек кривой задаются с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводит второй координатной оси. Не фиксирует он и направления отсчета от начала координат. Отрицательные абциссы не рассматриваются. У кривой, заданной уравнением f (x,y) = 0, ординаты точек, расположенных по одну сторону от исходной прямой, названы «истинными», а расположенных по другую – «ложными» корнями этого уравнения.
Такой же подход к вопросу сохранялся и у последователей Декарта. Только в XVIII веке сформировалось современное понимание координатной системы, но шаг, сделанный Декартом, сыграл определяющую роль в истории аналитической геометрии.
Далеко не все авторы, пишущие об истории математики, отдают этому ученому должное. Ведь примерно в то же самое время основные положения аналитической геометрии независимо от Декарта выдвинул великий Пьер Ферма, а что касается алгебраической символики, то ее давно уже использовал другой знаменитый французский математик Франсуа Виет. Между тем, Декарт создал нечто несравненно большее, чем аналитическая геометрия (понимаемая как теория кривых на плоскости) – он произвел революцию в математике, разработав новый подход к описанию явлений действительности: современный математический язык.
Иногда говорят, что Декарт «свел геометрию к алгебре», понимая под последней, конечно, алгебру числовую, арифметическую. Это грубая ошибка. Верно, что Декарт преодолел пропасть между величиной и числом, между геометрией и арифметикой, но достиг он этого не сведением одного языка к другому, а созданием нового языка – языка алгебры. По синтаксису новый язык совпадает с арифметической алгеброй, но по семантике – с геометрической. Символы в языке Декарта обозначают не числа и не величины, а отношения величин. В этом – вся суть переворота, произведенного им.
Мы настолько привыкли ставить иррациональные числа на одну доску с рациональными, что перестали отдавать себе отчет в том, какое глубокое различие лежит между ними. Мы вкладываем в √2 такой же смысл, как и в 4/5, и называем √2 числом. Но если немного подумать, то нельзя не согласиться с греками, что √2 можно представить как бесконечный процесс, порождающий последовательные знаки разложения в десятичную дробь. Значит ли это, что математики совершают ошибку, обращаясь с √2 как с числом? Нет, ведь цель математики – создание языковых моделей действительности. И почему в языке наряду со знаками типа 4/5 не может быть знаков типа √2? Важно только уметь правильно интерпретировать их и оперировать ими.
Так что никакой принципиальной разницы между √2 и 4/5 нет – и для современного человека это вполне очевидно. Однако на протяжении многих веков, отделяющих античность от Нового времени, эту «мудрость» протаскивали контрабандой. Обосновал и узаконил ее Декарт.
Кроме того, ученый является одним из авторов теории уравнений. Им впервые было сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней; поставлен вопрос о границах действительных корней; выдвинута проблема приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода; указано, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указано решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо). Декарт также сформулировал теорему о том, что число корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе степени х. При этом учитываются не только положительные (истинные) и отрицательные (ложные) корни, но и мнимые (воображаемые). Истинные корни возникают из двучлена вида х – а, ложные вида х + а.
Впрочем, не только философия и математика вызывали интерес у Рене Декарта. Выдающийся вклад ученый сделал в физику и биологию.
Значительное место в декартовом физическом понимании занимает оптика, которая имеет наглядный геометрический характер. Развернутая картезианская физика в конце XVII века была вытеснена ньютоновской, победившей в жесткой борьбе научных течений. Ученый систематизировал все сведения о свете, полученные физиками к тому времени, и пополнил их собственными наблюдениями. Декарт сформулировал закон преломления (точная формулировка этого закона позволила выяснить причины плохого качества изображения и усовершенствовать оптические инструменты), разработал теорию радуги, которая после поправок Ньютона сохранилась в основных чертах до наших дней.