Ну и что в них такого? Да ничего. Несмотря на возвышенный эпитет, совершенные числа бесполезны в теории и еще бесполезнее на практике. Мы просто дали им милое определение и обеспечили хороший имидж. «Совершенные числа никогда не приносили пользу, но и особого вреда от них не было», – сказал математик Джон Литлвуд. Как говаривал мой школьный друг Джулиан о чистой математике: «…как минимум она не дает праздно слоняться по улицам».
Поясню: обычное число несовершенно. Сумма его делителей либо меньше, чем оно само (назовем такое число «недостаточным»), либо больше (назовем такое число «избыточным»).
Совершенные числа неуловимы, как и все совершенное. Древние греки знали только четыре таких числа. Исмаил ибн Фаллус, египтянин, живший в XII веке, нашел еще три. В 1910 году было известно девять совершенных чисел. Даже сейчас, когда наши суперкомпьютеры настолько мощны, что могут сфабриковать видео с экс-президентом, исполняющим рэп, нам известно лишь 51 совершенное число – скудный итог 2500-летней охоты на тайны математики.
Трудно представить, что футбол обрел бы популярность, если бы за всю его историю забили лишь 51 гол[29]. Так что такого уж веселого в поисках совершенных чисел? Зачем играть в игру, где почти никогда не выигрываешь?
Эх вы, циники. Неужели вы забыли, что все числа по-своему интересны?
Не будем зацикливаться на совершенстве. Возьмем любое старое доброе число, найдем его собственные делители, сложим… а затем проделаем то же самое с полученным числом. Постепенно получится аликвотная последовательность.
Эта игра раскрывает сеть секретных связей. Каждое число отсылает к новому числу, словно агент в шпионской сети. Мы идем от числа к числу, словно детективы в фильме-нуар, по цепочке выуживая сведения у информаторов: число 20 отсылает к 22, а оно, в свою очередь, сообщает о 14, которое приводит нас к 10, которое предлагает поговорить с 8…
В процессе игры возникает естественный вопрос. Раз аликвотная последовательность имеет начало, то где ее конец?
Скажем, простые числа отсылают вас прямиком к единице (потому что у них нет других собственных делителей). Совершенные числа образуют бесконечный цикл: 28 отсылает к 28, а оно – снова к 28. А некоторые числа образуют пары: 220 отсылает к 284, а оно обратно к 220. У таких дуэтов есть прекрасное название: «дружественные числа».
Математики уже не одно столетие ищут эти счастливые пары. Интересно, что вторую пару (1184 и 1210) оказалось не так просто обнаружить. Такие великие умы, как Декарт, Ферма и Эйлер, упустили ее из виду, а честь открытия принадлежит 16-летнему школьнику. Сегодня известно больше миллиарда пар дружественных чисел.
И это все варианты окончания аликвотной последовательности? Вовсе нет! Есть циклы, где повторяется одно число (например, 6 → 6 → 6 → 6 →…), два числа (1184 → 1210 → 1184 → 1210 →…), а есть и более длинные циклы. Заядлые игроки называют входящие в них числа «компанейскими». Вот два примера:
Когда я сварганил компьютерную программу для поиска этих циклов, она раскрыла ошеломляющий заговор: цепочку из 28 компанейских чисел. Я набрел на самый длинный цикл, известный на данный момент, и не верил своей удаче, как и множество математиков до меня. Вот чудесное доказательство того, что каждое число интересно: как выясняется, почти три десятка заурядных и, казалось бы, ничем не связанных обывателей образуют тайное общество, эдакую масонскую ложу целочисленного мира.
Я могу еще долго болтать об этой игре и написать о ней целую книгу. Знаете ли вы, что некоторые числа (например, 2 и 5) никогда не появляются в цепочках? Это трагическое состояние называют «неприкасаемость». Вы заметили, что в некоторых последовательностях числа взмывают до небес, а затем падают наземь? Например, 138 воспаряет до 179 931 895 322, а затем низвергается, словно Икар. Задумывались ли вы о том, могут ли какие-то числа разорвать узы гравитации и вечно лететь ввысь? Возможно, такое не исключено; пока что мы не знаем этого. Судьба некоторых небольших чисел (например, 276) до сих пор неизвестна: нам не под силу вычислить их аликвотные последовательности целиком, они будто самолеты, уходящие за горизонт, причем пилоты не оповестили нас, когда вернутся, да и вернутся ли.