Квадрат отклонения в i-м году от тренда по совокупности в целом равен:
сумма квадратов отклонении по совокупности в целом:
Формула (9.5) означает, что сумма квадратов отклонений уровней признака по совокупности от их тренда равна сумме по годам сумм по единицам совокупности квадратов их отклонений от своих трендов плюс удвоенная сумма произведений отклонений за тот же год уровней для разных единиц совокупности от своих трендов. Эта последняя удвоенная сумма парных отклонений по всем (сочетание из к по 2) есть удвоенная сумма ковариаций колебаний по всем возможным парам единиц совокупности. Так как коэффициент каждой парной корреляции колебаний — величина
то
где γ — число степеней свободы (для прямой γ = n — 2, для параболы γ = n — 3).
В свою очередь, Σni=1Ui2 по совокупности в целом можно выразить как γ х S2(t)cов по совокупности в целом. Учитывая это и результат (9.6), можно записать вместо (9.5):
Сократив обе части равенства на число степеней свободы γ, имеем окончательный результат для объемных признаков:
Итак, можно сделать вывод: дисперсия колебаний признака в целом по совокупности с объемом k единиц, равна сумме дисперсий по всем к единицам плюс удвоенная сумма произведений средних квадратических отклонений по всем сочетаниям единиц совокупности Ck2 на парные коэффициенты корреляции колебаний.
Из этого важного вывода вытекает следствие: если бы колебания признака у всех единиц совокупности были независимы друг от друга (все rumup = 0), дисперсия признака по совокупности в целом была бы равна сумме дисперсий признака для всех единиц совокупности.
Например, если в каждом из 20 предприятий района валовой сбор имел бы дисперсию колебаний, равную 9000 ц2, то дисперсия валового сбора по району была бы равна 180000 ц2. В таком случае имели бы: S(t)сов = √180000 = 424,26 ц, в то время, как по каждому предприятию S(t)j = √9000 = 94,87 ц, и их сумма по 20 предприятиям составила бы: 94,87∙20 = 1897,49. Отсутствие связи колебаний у разных единиц совокупности, независимость их распределения во времени более чем вчетверо снизили бы величину колебаний признака по совокупности в целом. К сожалению, в границах не только административного района, но даже и области, края, небольшого государства многие факторы колебаний валового сбора сельскохозяйственных культур являются общими, действующими на всей территории более или менее согласованно. Это означает, что коэффициенты корреляции rumup в преобладающей части — положительные величины. Если предположить, что в среднем общие факторы объясняют половину колебаний, т. е. r‾2 = 0,5, г‾ ~= 0,7, то получим следующий результат по (9.7):
S(t)сов = √(180000 + C220∙94,872) = √(180000 + 190∙94,872) = 1374,8 ц.
Как видим, и эта величина все еще существенно меньше, чем сумма колебаний по 20 единицам. Так как на практике невозможно, чтобы все факторы колеблемости для всех единиц совокупности были только общими, всегда есть и часть специфических факторов колеблемости для отдельных предприятий, то коэффициенты корреляции отклонений от трендов всегда в среднем меньше единицы, а тогда правая часть выражения (9.7) меньше, чем квадрат суммы колебаний. В результате имеем общий закон агрегирования колебаний объемного признака для совокупности хозяйств или любых иных объектов: абсолютная колеблемость объемного признака в совокупности всегда меньше, чем сумма абсолютных мер колеблемости по всем единицам совокупности, и коэффициент колеблемости по совокупности меньше средней величины коэффициентов колеблемости в единицах совокупности:
S(t)сов < Σkj=1S(t)j
V(t)сов < V‾(t)j.
Если же имеет место обратная корреляция колебаний между единицами совокупности, например, между колебаниями валового сбора в разных регионах большой страны или всего мира, то компенсирующие друг друга колебания могут еще резче снизить общую колеблемость по совокупности и даже свести ее к нулю[23].
Данный закон справедлив и для вторичных признаков, таких, как урожайность. Если бы колебания урожайности у всех единиц совокупности были жестко связаны (т. е. все rumup были равны единице), то колебания урожайности по совокупности были равны средней из показателей S(t)j каждой единицы совокупности. Но так как на разных предприятиях, в хозяйствах есть не только общие для совокупности факторы колеблемости, но и специфические, все rumup < 1, а, значит, колебания средней урожайности по совокупности хозяйств, даже если взять простую среднюю, будут меньше, чем среднее квадратическое отклонение по всем единицам. А если еще среднюю урожайность по совокупности вычислить как взвешенную по площадям, то их колебания, конечно, не строго согласованные по всем единицам совокупности, также будут снижать колеблемость средней урожайности по совокупности.
23
Проблема взаимопогашения колебаний валового сбора и урожайности для России была исследована в ряде работ А.И. Манелли, например в монографии [20, гл. 2].