Настоящая логарифмическая спираль проходит через те же самые углы в тех же самых квадратах, но она закругляется более гладко, чем получившаяся у нас кривая, изображенная на рисунке, — наша кривая претерпевает небольшие скачки кривизны в тех местах, где соединяются четвертинки окружностей. В логарифмической спирали прямая линия, проведенная из центра спирали — «полюса», — пересекает саму спираль под одним и тем же углом во всех точках; по этой причине Декарт назвал логарифмическую спираль «равноугловой спиралью».
Логарифмическая спираль — одна из самых пленительных кривых в математике. Впервые ее свойства тщательно исследовал выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705). Он назвал ее «spira mirabilis» — чудесной спиралью и распорядился выгравировать ее на его надгробии. (По ошибке скульптор изобразил спираль другого типа.)
Фундаментальное свойство логарифмической спирали состоит в том, что, сколько бы она ни росла, она никогда не меняет форму. Бернулли выразил это фразой «Eadem mutata resurgo» («Меняясь, остаюсь прежней»), которую просил высечь на своем надгробии. Данная спираль совершает бесконечное число оборотов, прежде чем достигает полюса. Если взять микроскоп и взглянуть на ее центральную область, то окажется, что ее форма в точности та же самая, как если бы логарифмическая спираль, изображенная на рисунке, продолжилась бы наружу и достигла размеров галактики, а мы бы смотрели на нее из другой солнечной системы. Немало галактик имеют форму логарифмических спиралей. Подобно фракталу, логарифмическая спираль самоподобна: любая ее малая часть подобна большей.
Наиболее ошеломляющий пример логарифмической спирали в природе — раковина головоногого моллюска. По мере роста раковины каждая последующая камера имеет больший размер, сохраняя при этом ту же форму, что и предыдущая. Единственная спираль, образованная из частей с одинаковыми относительными размерами, — это «spira mirabilis» Бернулли.
Раковина головоногого моллюска
Как заметил Декарт, прямая линия, проведенная из полюса логарифмической спирали, всегда пересекает ее под одним и тем же неизменным углом, и это свойство объясняет, почему данную спираль используют соколы-сапсаны, когда они нападают на свою добычу. Сапсаны не бросаются прямо вниз, а скорее устремляются к своей добыче, описывая вокруг нее спираль. В 2000 году Вэнс Такер из Университета Дьюк понял, почему дело обстоит именно так. У соколов глаза расположены по бокам головы, так что если им надо смотреть прямо перед собой, то приходится поворачивать голову на 40 градусов. Вэнс испытывал соколов в аэродинамической трубе и показал, что, когда голова птицы повернута под таким углом, сила сопротивления воздуха, действующая на сокола, на 50 процентов больше, чем когда его голова повернута прямо. Траектория, при которой птице удается держать голову в наиболее выгодном аэродинамическом положении, но в то же время постоянно смотреть на добычу под одним и тем же углом, и представляет собой логарифмическую спираль.
Листья растений располагаются вокруг стебля так, чтобы количество солнечного света, падающего на каждый из листьев, было максимально. Именно поэтому они не растут в точности друг над другом, иначе те, что снизу, света не получали бы вовсе.
По мере роста стебля каждый новый лист появляется под фиксированным углом относительно предыдущего листа. Это угол, при котором количество солнечного света максимально. Он не равен 180 градусам (половине полного оборота), потому что тогда третий лист окажется в точности над первым. Не равен он и 90 градусам (четверти полного оборота), поскольку тогда пятый лист оказался бы ровно над первым, а кроме того, первые три листа использовали бы только одну сторону стебля, что было бы недопустимой растратой солнечного света, падающего на другую сторону. Оказывается, угол, обеспечивающий наилучшее расположение листьев, — 137,5 градуса.
На рисунке показано, как располагаются листья, если каждый следующий лист растет повернутым под данным углом по отношению к предыдущему. Первые три листа расположены на достаточном угловом удалении друг от друга. Следующие два (листья четыре и пять) разнесены на более чем 50 градусов относительно ближайших к ним листьев — такой угол все еще оставляет им достаточно места. Шестой лист повернут на 32,5 градуса относительно первого. Это меньшее угловое расстояние, чем было между предыдущими листьями, что, конечно, неизбежно, поскольку появляются все новые листья, но тем не менее имеющийся угловой разнос по-прежнему достаточно широк.