2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределенно.
3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы меньшие, чем два прямых угла, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Когда мы добираемся до пятого постулата, закрадывается подозрение, что тут не все в порядке. Начинаются постулаты достаточно бодро. Первые четыре легко формулируются, их несложно понять и легко принять. Но что же в их компании делает пятый? Он многоречивый, сложный и не слишком самоочевидный. Да и не столь уж фундаментальный: первый раз он требуется в «Началах» в предложении 29.
Несмотря на свою любовь к дедуктивному методу Евклида, математики невзлюбили его пятый постулат; он не только посягал на их чувство прекрасного, но и заставлял подозревать, что там принимается слишком много для простой аксиомы. И действительно, в течение 2000 лет много великих умов делали попытки изменить статус пятого постулата, пытаясь вывести его из остальных постулатов и тем самым разжаловать в теорему. Но никто в этом так и не преуспел. Быть может, величайшее свидетельство гения Евклида состоит как раз в понимании того, что и пятый постулат необходимо принимать без доказательства.
Больший успех сопутствовал математикам в попытках переформулировать постулат в других терминах. Например, англичанин Джон Уоллис еще в XVII веке понял, что все, имеющееся в «Началах», можно доказать, взяв первые четыре постулата неизменными и заменив пятый постулат следующим альтернативным вариантом: если задан любой треугольник, его можно увеличить или, наоборот, сжать до любого размера таким образом, чтобы длины сторон оставались в неизменном отношении друг к другу, а углы между сторонами не менялись. Хотя осознание того, что пятый постулат можно перефразировать как утверждение о треугольниках, а не о прямых, означало глубокое проникновение в суть происходящего, это не развеяло беспокойства математиков: альтернативный постулат Уоллиса, может, и был более (хотя и не так уж) интуитивным, чем пятый постулат, но он все равно не получался столь же простым или очевидным, как первые четыре. Были открыты и другие эквиваленты пятого постулата; Евклидовы теоремы по-прежнему оставались верными, если заменить пятый постулат утверждением о том, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, или что верна теорема Пифагора, или что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру равно π. Сколь бы неожиданным такое ни показалось, все эти утверждения математически взаимозаменяемы. Эквивалентное утверждение, которое наиболее удобным образом выражает суть пятого постулата, однако, касается поведения параллельных линий. Начиная с XVIII столетия математики, изучавшие Евклида, стали отдавать предпочтение следующему варианту, известному как постулат о параллельных:
Для заданной прямой и точки вне ее существует самое большее одна прямая, проходящая через эту точку и параллельная данной прямой.
Можно показать, что постулат о параллельных имеет отношение к геометрии двух различных типов поверхности, где все зависит от фразы «самое большее одна прямая», которая на языке математики означает «или одна прямая, или ни одной». В первом случае, проиллюстрированном на рисунке, для любой прямой L и точки P существует только одна проходящая через P прямая, параллельная L (она обозначена как L'). Этот вариант постулата о параллельных применим к поверхности наиболее очевидного типа — плоской поверхности, такой как лист бумаги, лежащий у вас на столе.
Постулат о параллельных
Теперь рассмотрим второй вариант постулата, в котором для любой прямой L и точки P вне ее нет ни одной прямой, проходящей через P и параллельной L. С ходу нелегко сообразить, что это может быть за поверхность. В какую ужасную даль от Земли нам придется отправляться на ее поиски?
Да никуда не придется. Мы так и останемся на Земле! Представим себе, например, что наша линия L — это экватор, и вообразим, что точка P — это Северный полюс. Единственные прямые линии, идущие через Северный полюс, — это линии долготы, такие как Гринвичский меридиан, и при этом все линии долготы пересекают экватор. Таким образом, прямой линии, которая проходила бы через Северный полюс и была бы при этом параллельна экватору, просто нет.