кажется еще прекраснее. Образ такой же совершенный, однако в этом случае сама идея так важна, мысль так сильна, что строка вызывает у нас гораздо более глубокий эмоциональный отклик. Идеи существенны для образа даже в поэзии, а уж тем более в математике; но мне не стоит и пытаться серьезно рассуждать на эту тему.
12
Теперь понятно, что единственный путь двигаться дальше – это привести примеры «настоящих» теорем, то есть тех, которые всеми математиками единодушно признаются первоклассными. Вместе с тем я связан ограничениями, с учетом которых пишу. С одной стороны, мои примеры должны быть достаточно простыми, не требующими предварительных объяснений и понятными читателю без специальной математической подготовки; читатель должен понимать как ход доказательств, так и формулировки. Эти условия исключают, к примеру, множество прекраснейших теорем в теории чисел, таких как теорема Ферма о двух квадратах или закон квадратичной взаимности. С другой стороны, примеры должны быть взяты из «реальной» математики, с которой имеют дело профессионалы. Это условие исключает немалую долю теорем, которые можно было бы вполне доступно объяснить, но которые посягают на логику и философию математики.
Поэтому мне не остается ничего другого, как обратиться к древним грекам. Я сформулирую и докажу две знаменитые теоремы древнегреческой математики. Обе «просты» по форме и по содержанию и при этом не оставляют сомнений в том, что принадлежат к наивысшему классу. Обе так же свежи и значимы, как и в день их открытия, – две тысячи лет не добавили им ни единой морщинки! И наконец, понятливому читателю, независимо от его математического багажа, достаточно часа, чтобы освоить и формулировки, и доказательства обеих теорем.
1. Первый пример – теорема Евклида[73] о бесконечности множества простых чисел.
Простые числа – это множество чисел
(A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, …,
которые нельзя разложить на меньшие делители[74]. К примеру, 37 и 317 – простые числа. Любое число можно получить путем перемножения простых чисел: то есть 666 = 2 × 3 × 3 × 37. Каждое число, которое не является простым, делится по меньшей мере на одно простое (хотя обычно, разумеется, простых делителей несколько).
Требуется доказать, что простых чисел бесконечно много, другими словами, что список (А) бесконечен.
Предположим, что он конечен и что список
2, 3, 5, …, P
включает все простые числа, из которых P – самое большое. Для проверки этой гипотезы рассмотрим число Q, полученное по формуле:
Q = (2 × 3 × 5 × … ×P) + 1.
Ясно, что число Q не делится нацело ни на одно из чисел множества (A), так как при делении на любое из них всегда останется 1. При этом если Q не простое, то должно делиться без остатка на некое простое число. Следовательно, существует простое число (которым может быть и само Q) больше, чем какое-либо число из нашего изначального списка. А это противоречит нашей гипотезе о том, что простых чисел, превосходящих P, не существует. Следовательно, гипотеза неверна.
Метод доказательства reductio ad absurdum[75], столь любимый Евклидом, – один из лучших приемов математика[76]. Это гораздо более изощренная уловка, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешкой или даже фигурой, а математик как бы сразу сдается.
13
2. Второй пример – доказательство Пифагора[77], подтверждающее «иррациональность» квадратного корня из двух.
Число «рационально», если его можно представить в виде дроби
(B) a2= 2b2
не удовлетворяют никакие целые a и b, не имеющие общего делителя. Это чисто арифметическая теорема, не требующая знаний об «иррациональных числах» и не опирающаяся ни на какую теорию об их свойствах.
73
Доказательство приведено Евклидом в «Началах» (книга IX, 20). Подлинный источник многих теорем в «Началах» неясен, но ничто не указывает на то, что именно эта теорема не принадлежит Евклиду. –
75
Латинское название метода «доведения до абсурда», частным случаем которого является доказательство от противного.
76
Эту теорему можно доказать и без