17
Вторым качеством, которым непременно должна обладать значимая идея, я назвал глубину, и в этом случае определение дать еще труднее. Понятие глубины в некотором роде сопоставимо с понятием сложности; как правило, чем «глубже» идея, тем сложнее ее постичь. И все же это не одно и то же. Идеи, заложенные в теореме Пифагора и ее следствиях, безусловно глубоки, хотя ни один математик не назвал бы их сложными. С другой стороны, довольно поверхностную по сути теорему бывает трудно доказать (как в случае многих «Диофантовых»[86] уравнений с целыми числами).
Такое впечатление, что все идеи в математике расположены как бы слоями, причем идеи каждого слоя связаны комплексом отношений не только между собой, но и с теми, что находятся над и под ними. Чем ниже слой, тем глубже (и чаще всего сложнее) идея. Так, концепция «иррациональных чисел» глубже концепции целых, а теорема Пифагора, соответственно, глубже Евклидовой.
Теперь давайте присмотримся повнимательнее к отношениям между целыми числами или объектами любой другой группы внутри конкретного слоя. Бывает, какое-то из этих отношений понять нетрудно; мы можем доказать некое очевидное свойство целых чисел без знания того, что находится слоем ниже. Например, теорему Евклида мы доказали, принимая во внимание лишь свойства целых чисел. Вместе с тем существует немало других теорем о целых числах, которые невозможно оценить по достоинству, а уж тем более доказать без понимания того, что происходит под ними.
За примерами далеко ходить не надо. Та же теорема Евклида, несмотря на всю ее важность, глубиной не отличается: для доказательства того, что простых чисел бесконечно много, можно вполне обойтись одним лишь понятием «кратности». Однако понимание того, что простых чисел бесконечно много, сразу же вызывает массу новых вопросов, например, как эти числа распределены? Если взять большое число N, скажем 1080 или (1010)10[87], то сколько найдется простых чисел меньше N?[88] Как только дело доходит до подобных вопросов, мы оказываемся в щекотливом положении. На них можно получить поразительно точный ответ, лишь копнув значительно глубже, оставив на время мир целых чисел высоко над нами и воспользовавшись мощнейшим оружием современной теории функций. Таким образом теорема, способная ответить на наши вопросы (так называемая «Теорема о распределении простых чисел»), куда глубже теорем Евклида или того же Пифагора.
Я мог бы привести массу других примеров, но так и не приблизиться к определению «глубины» – понятию, неуловимому даже для математика, способного его распознать. Так что для остальных читателей я и подавно вряд ли смогу добавить что-либо полезное.
18
Нам осталось обсудить один момент из главы 11, где я сравнил «настоящую математику» с шахматами. Теперь, я полагаю, все согласны с тем, что настоящая математическая теорема бесспорно превосходит шахматы по содержательности, серьезности и значимости. Для тренированного интеллекта так же очевидно ее преимущество в красоте, хотя объяснить или обнаружить его куда сложнее, поскольку главный недостаток шахматной задачи – ее «несущественность», и разительный контраст в этом смысле затмевает любое чисто эстетическое суждение. И все же какие «чисто эстетические» качества можно отметить в теоремах Евклида и Пифагора? По этому поводу я позволю себе разве что пару разрозненных соображений.
Обе теоремы (и под теоремами я, разумеется, имею в виду и их доказательства) отличает высокая степень непредсказуемости в сочетании с непреложностью и экономностью. Доводы поражают своей неожиданностью, применяемые методы кажутся по-детски простыми по сравнению с далекоидущими последствиями; при этом выводы неопровержимы. В рассуждениях нет нагромождения подробностей – каждая строчка бьет в цель. То же характерно и для доказательств многих куда более сложных теорем, истинная ценность которых понятна только тем, кто в совершенстве разбирается в предмете. В доказательстве математической теоремы не должно быть «разнообразия»; «перечисление всевозможных случаев» – поистине скучнейший способ доказать что-либо в математике. Доказательство должно походить на четкое и яркое созвездие, а не на размытое скопление звезд Млечного Пути.
86
Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.
87
Предполагается, что во Вселенной содержится около 1080 протонов. Число (1010)10, записанное в развернутом виде, заняло бы около 50 000 томов. –