Я не стал бы углубляться в эти вопросы, даже если бы хорошо в них разбирался, но позицию свою я изложу, причем в догматической форме во избежание малейшего недопонимания. Я убежден, что математическая реальность находится вне нас, что наша задача – открывать или просто наблюдать ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем собственными «творениями», – всего лишь заметки по ходу наших наблюдений. Такого видения в той или иной мере придерживались многие выдающиеся философы, начиная с Платона, и я пишу языком, естественным для человека, разделяющего именно эту точку зрения. Читатель, не согласный с такой философией, волен поменять терминологию – только на мои заключения это мало повлияет.
23
Пожалуй, контраст между чистой и прикладной математикой ярче всего проявляется в геометрии. К чистой геометрии[91] относятся такие науки, как проективная, евклидова, неевклидова и прочие геометрии. Каждая из них представляет собой модель, некую совокупность идей, ценность которых определяется оригинальностью и красотой конкретной модели. Они как карта или картина – совместное творение множества рук, субъективная и несовершенная (хотя точная в пределах своих границ) копия фрагмента математической реальности. Однако сейчас для нас важнее то, что по крайней мере в одном аспекте чистые геометрии картинами не являются: они не отражают пространственно-временну´ю реальность физического мира. Впрочем, это закономерно, ведь землетрясения и затмения – не математические концепции.
Звучит несколько парадоксально, однако для любого геометра это трюизм. Попробую пояснить свою мысль на примере. Допустим, я читаю лекцию по одной из систем, скажем, по евклидовой геометрии, и для наглядности черчу на доске линии, окружности или овалы. Во-первых, очевидно, что верность доказываемых теорем ни в коей мере не зависит от качества моих рисунков. Последние служат лишь подспорьем для моих слушателей, и если они меня понимают, то я ничего бы не выгадал, пригласив профессионального чертежника. В данном случае иллюстрации – всего лишь часть педагогического процесса, не влияющая на суть лекции.
Двигаемся дальше. Аудитория, в которой проходит лекция, – часть физического мира, имеющая определенную форму. Само по себе изучение этой формы, как и любой другой в физической реальности, – тоже наука, которую можно назвать «физической геометрией». Представьте теперь, что в аудиторию поместили мощный генератор или громадный магнит. Физики скажут, что геометрия комнаты поменялась, что ее физическая форма немного, но заметно исказилась. Остались ли верны доказанные мной теоремы? Разумеется. Никто бы и не подумал утверждать, что это хоть как-то повлияло на приведенные доказательства. Это было бы равносильно утверждению, что пьеса Шекспира изменилась оттого, что читатель пролил на книгу чай. Пьеса совершенно не зависит от страниц, на которых напечатана, так и «чистая геометрия» не зависит от лекционной аудитории или какой-либо иной составляющей физического мира.
Именно так мыслит математик-теоретик. Прикладные математики и математические физики, естественно, придерживаются другой точки зрения, так как их заботит физический мир, который также имеет свою структуру и законы. Нельзя в точности описать эти законы, как в чистой геометрии, но можно сказать о них нечто значимое. Мы можем описать – порой довольно точно, порой лишь в общих чертах – отношения между отдельными составляющими физического мира и сравнить их с отношениями между составляющими какой-нибудь из систем теоретической геометрии. Если мы обнаружим сходство между двумя наборами отношений, чистая геометрия вызовет интерес у физиков, потому что явит нам кусочек карты, согласующийся с реалиями физического мира. Геометр предлагает физику множество карт на выбор. Не исключено, что одна из карт будет больше соответствовать фактам, чем другие. В этом случае геометрия, явившая наилучшую карту, станет наиболее важной для прикладной математики. Ценность такой геометрии может подняться даже в глазах теоретика, ибо нет математика, напрочь лишенного интереса к физическому миру; но чем сильнее он поддастся искушению, тем больше сдаст позиции чистого теоретика.
91
В рамках нашей дискуссии к чистой геометрии мы относим то, что математики называют «аналитической геометрией». –