С. последовательности {an}, n = 1, 2,..., означает существование у неё конечного предела
Свойство С. тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Например, часто используется представление каких-либо величин или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд
для функции sin х — в сходящийся при всех х ряд
Подобные ряды могут быть использованы для приближённого вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой которых они являются, например,
При практических вычислениях в целях экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд, который сходится «более быстро». Если даны два сходящихся ряда
Например, ряд
сходится быстрее ряда
Используются и другие понятия «более быстро» сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С. рядов, то есть методы, позволяющие преобразовать данный ряд в «более быстро» сходящийся. Аналогично случаю рядов вводится понятие «более быстрой» С. и для несобственных интегралов, для которых также имеются способы улучшения их С.
Большую роль понятие С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближённых решений. Например, с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать существование при определённых условиях решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения (см. Сеток метод). Для практического нахождения приближённых решений уравнений широко используются ЭВМ.
Если изображать члены an последовательности {an} на числовой прямой, то С. этой последовательности к а означает, что расстояние между точками an и а становится и остаётся сколь угодно малым с возрастанием n. В этой формулировке понятие С. обобщается на последовательности точек плоскости, пространства и более общих объектов, для которых может быть определено понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками пространства (например, на последовательности векторов, матриц, функций, геометрических фигур и т. д., см. Метрическое пространство). Если последовательность {an} сходится к а, то вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более общей природы, в которых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство).