r 1 u1 = r 0 u0 р 1 + r 1 u1 2 = р 0 + r 0 u0 2 ,
e1 + р 1 / r 1 + u1 2 / 2 = e0 + р 0 / r 0 + u0 2 / 2, (1)
где p1 — давление, r1 — плотность, e1 — удельная внутренняя энергия, u1 — скорость вещества за фронтом У. в. (в системе координат, в которой У. в. покоится), а p 0 , r0 , e0 , u0 — те же величины перед фронтом. Скорость u0 втекания газа в разрыв численно совпадает со скоростью распространения У. в. u В по невозмущённому газу. Исключая из равенств (1) скорости, можно получить уравнения ударной адиабаты:
e1 — e0 = (p1 + p0 ) (V0 — V1 ),
w1 — w0 = (p1 — p0 ) (V0 + V1 ), (2)
где V = 1/r — удельный объём, w = e + p / r — удельная энтальпия. Если известны термодинамические свойства вещества, то есть функции e(р ,r) или w(p, r), то ударная адиабата даёт зависимость конечного давления p 1 от конечного объёма V 1 при ударном сжатии вещества из данного начального состояния p 0 , V 0 , то есть зависимость p 1 = H (V 1 , p 0 , V 0 ).
При переходе через У. в. энтропия вещества S меняется, причём скачок энтропии S 1 — S 0 для данного вещества определяется только законами сохранения (1), которые допускают существование двух режимов: скачка сжатия (r1 > r0 , p 1 > p 0 ) и скачка разрежения (r1 < r0 , p 1 < p 0 ). Однако в соответствии со вторым началом термодинамики реально осуществляется только тот режим, при котором энтропия возрастает. В обычных веществах энтропия возрастает только в У. в. сжатия, поэтому У. в. разрежения не реализуется (теорема Цемплена).
У. в. распространяется по невозмущённому веществу со сверхзвуковой скоростью u 0 > a 0 (где a 0 — скорость звука в невозмущённом веществе) тем большей, чем больше интенсивность У. в., то есть чем больше (p 1 — p 0 )/ p 0 . При стремлении интенсивности У. в. к 0 скорость её распространения стремится к a 0 . Скорость У. в. относительно сжатого газа, находящегося за ней, является дозвуковой: u1 < a 1 (a 1 — скорость звука в сжатом газе за У. в.).
У. в. в идеальном газе с постоянной теплоёмкостью. Это наиболее простой случай распространения У. в., так как уравнение состояния имеет предельно простой вид: e = р /r(g—1), р = R rT /m, где g = c p /c v — отношение теплоёмкостей при постоянных давлении и объёме (так называемый показатель адиабаты), R — универсальная газовая постоянная, m — молекулярный вес. уравнение ударной адиабаты можно получить в явном виде:
Ударная адиабата, или адиабата Гюгоньо Н, отличается от обычной адиабаты Р (адиабаты Пуассона), для которой p 1 /p 0 = (V 0 /V 1 )g (рис. 2 ). При ударном сжатии вещества для данного изменения V необходимо большее изменение р, чем при адиабатическом сжатии. Это является следствием необратимости нагревания при ударном сжатии, связанного, в свою очередь, с переходом в тепло кинетической энергии потока, набегающего на фронт У. в. В силу соотношения
u0 2 = V 0 2 (р 1 - р 0 ) / (V0 — V1 ), следующего из уравнений (1), скорость У. в. определяется наклоном прямой, соединяющей точки начального и конечного состояний (рис. 2 ).
Параметры газа в У. в. можно представить в зависимости от Маха числа М = uв /а 0
В пределе для сильных У. в. при М ® ¥; p 1 /p 0 ® ¥ получается:
Таким образом, сколь угодно сильная У. в. не может сжать газ более чем в (g + 1)/(g — 1) раз. Например, для одноатомного газа g = и предельное сжатие равно 4, а для двухатомного (воздух) — g = и предельное сжатие равно 6. Предельное сжатие тем выше, чем больше теплоёмкость газа (меньше g).
Вязкий скачок уплотнения. Необратимость ударного сжатия свидетельствует о наличии диссипации механической энергии во фронте У. в. Диссипативные процессы можно учесть, приняв во внимание вязкость и теплопроводность газа. При этом оказывается, что сам скачок энтропии в У. в. не зависит ни от механизма диссипации, ни от вязкости и теплопроводности газа. Последние определяют лишь внутреннюю структуру фронта волны и его толщину. В У. в. не слишком большой интенсивности все величины — u, р, r и Т монотонно изменяются от своих начальных до конечных значений (рис. 3 ). Энтропия же S меняется не монотонно и внутри У. в. достигает максимума в точке перегиба скорости, то есть в центре волны. Возникновение максимума S в волне связано с существованием теплопроводности. Вязкость приводит только к возрастанию энтропии, так как благодаря ей происходит рассеяние импульса направленного газового потока, набегающего на У. в., и превращение кинетической энергии направленного движения в энергию хаотического движения, то есть в тепло. Благодаря же теплопроводности тепло необратимым образом перекачивается из более нагретых слоев газа в менее нагретые.