Если точка (нулевой размерности) движется в определенном направлении, то получается отрезок (размерность 1). Если отрезок перемещается в перпендикулярном направлении, то получается квадрат (размерность 2). При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении получается куб (третье измерение). Гиперкуб (четвертое измерение) получается путем перемещения куба.
Как мы уже говорили, Эбботт не верил в чудеса и считал, что христиане не должны основывать на них свою веру. Эта идея также отражена во «Флатландии», где то, что кажется чудом двумерным существам, на самом деле легко объясняется при переходе в третье измерение. Приведем несколько ироничный диалог между Квадратом и Сферой:
«Потрясенный зрелищем сокровенных тайн земли, открывшихся моему недостойному глазу, я сказал своему спутнику:
— Я стал как бы богом. Ведь говорят же мудрецы во Флатландии, что способность все видеть или, как они выражаются, быть всевидящим присуща лишь богу.
В ответ мой наставник заметил:
— Так ли это на самом деле? У нас в Спейсландии найдется немало карманных воров и убийц, которых ваши мудрецы приняли бы за богов, ибо каждый из них, взглянув на Флатландию, увидел бы не меньше, чем вы сейчас. Поверьте мне, ваши мудрецы глубоко заблуждаются».
Роман заканчивается тем, что герой попадает в тюрьму за попытку написать трактат о тайнах третьего измерения и рассказать жителям своего плоского мира о существовании трехмерного пространства. Здесь мы можем увидеть аналогию со священными писаниями и гонениями, которым подвергались святые апостолы.
Даже язык Эбботта в этой части становится похож на библейскую речь, когда, например, он приводит слова Квадрата: «Смерть или тюремное заключение ожидает апостола учения о Спейсландии». Социальная сатира заключается в изображении общества, которое наказывает тех, кто пытается пропагандировать новые идеи.
Многомерные аналогии и изучение различных пространств с учетом их размерности являются ключевыми идеями «Флатландии», предложенными Эбботтом. В действительности, в то время они были широко распространенным подходом для понимания многомерных пространств, включая аналогию с двумерным пространством, населенным плоскими существами.
Одно из первых упоминаний о важности изучения различных пространств и идеи многомерных аналогий можно найти в «Республике» Платона (книга VII).
В этой книге Сократ обсуждает с Главконом образование, которое должны получать стражи идеального государства. Главкон объясняет, что начать нужно с арифметики и изучения ряда чисел. Затем надо перейти к плоской геометрии, содержащей необходимые знания для ведения войны («Очевидно, что мы имеем дело с той частью геометрии, которая относится к войне»), а также для всех других видов деятельности, относящихся к управлению государством. Когда Сократ спрашивает, что должно идти дальше, Главкон предлагает астрономию. Сократ замечает, что тот упустил важный шаг: «Правильнее было бы после второго измерения рассмотреть третье: оно касается измерения кубов и всего того, что имеет глубину». Только перейдя от первого измерения ко второму, а затем к третьему, ученики будут готовы к изучению «астрономии, или круговращения твердых тел».
Знаменитый миф о пещере — аллегория Платона — является основополагающим ориентиром для вопросов, рассматриваемых во «Флатландии». Здесь мы также находим многомерную аналогию, проблему познания мира, в котором мы живем, и образование как средство для достижения этого знания. Платон предлагает представить расу людей, которые с рождения живут в темной подземной пещере, связанные таким образом (тело, ноги, руки, шея), что они могут видеть только стену пещеры. За ними находится невысокая стена, за которой горит огонь. Между огнем и стеной перемещаются фигурки маленьких людей, животных и инструментов, а огонь проецирует их тени на стену пещеры. Когда заключенные разговаривают, их голоса отражаются от стен, и им кажется, что говорят тени. Более того, они думают, что они сами являются тенями. Пещерные жители считают эти тени единственной реальностью и не понимают, что они сами и эти фигурки расположены в трехмерном пространстве. Интересно упомянуть конец этой истории, когда пришелец извне пытается объяснить им истинную картину мира, но они считают его сумасшедшим.
Еще одна связь между мифом о пещере и четвертым измерением состоит в том, что пленники думают, что они являются двумерными существами. То, что они на самом деле трехмерные существа, так же странно для них, как для нас мысль о том, что мы являемся трехмерными проекциями четырехмерных существ.