Аксиома транзитивности: «если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А (хуже или эквивалентен), кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А». Простая логика высказываний, по сути просто утверждается рациональность поведения избирателей.
Все пять аксиом полно описывают демократическую избирательную систему в общем виде, не так ли? А вот затем Эрроу доказал, что выполнение всех аксиом одновременно невозможно. Если точнее, то он добавил шестую аксиому об отсутствии диктатора — человека, который имеет возможность и желание навязывать своё мнение всему социуму, и математически доказал, что одновременное выполнение всех шести аксиом невозможно. Т.е. если выполняются первые пять — то выбор осуществляется как следствие подчинения диктатору — именно поэтому конечный вывод Эрроу получил название «теоремы невозможности».
Три цели демократии, а именно — коллективная рациональность, способность избирателя принимать решения и равенство власти, как оказалось, противоречат друг другу. Если исходить из равенства и способности принимать решения (суть избирательного процесса), то придётся отказаться от коллективной рациональности выбора (см. парадокс Кондорсе, рассмотренный в начале статьи). Если настаивать на коллективной рациональности, то принцип равенства будет наличествовать лишь при подходе, когда результат голосования определяется лишь полным консенсусом электората. И, в конце концов, если исходить из способности принимать решения, то придётся концентрировать это право для всё более узкого круга, т.е. по сути переходим к тому же диктатору в предельном случае.
При этом в роли диктатора не обязательно должен выступать некий вождь и т.п. — в общем виде условие свободы выбора может быть снято любым достаточно глобальным посторонним воздействием: религией в фундаментальных странах, угрозой всему народу извне и т.д. — включая так называемое общественное мнение, которое зачастую инспирируется внешними силами в своих целях. Забегая вперёд: именно так работает современная демократия.
И ещё один интересный нюанс.
Не относясь напрямую к выборам, так называемое равновесие Нэша также наглядно иллюстрирует современный демократический мир. Джон Форбс Нэш–младший, изучая теорию игр, сформулирован тезис:
«Если в некоторой игре с произвольными количеством игроков и матрицей выигрышей существует такое состояние, что при выборе не соответствующего ему хода любым из игроков в отдельности его личный выигрыш уменьшится, то это состояние окажется “равновесным” для данной игры. Кроме того, в ряде случаев ходы игроков будут иметь тенденцию стремиться к этому состоянию, даже если в этой игре есть другие состояния, в рамках которых выигрыш игроков в целом и/или по отдельности выше».
Обычно теорию игр применяют к экономике, но, говоря о демократии, можно применить её к конкуренции партий — это ведь так демократично, не так ли?
Равновесие Нэша — это «положение, при котором самостоятельные стратегии продавцов не позволяют получить результат лучший, чем результат конкурента», т.е. в условиях олигополии равновесие Нэша достигается при нулевой прибыли (если не работать далее в убыток). Таким образом, оптимальной стратегией для всех олигополистов является сговор, позволяющий держать цены. Но немногочисленные политические партии вполне являются аналогами олигополистов, только на политическом поле — им выгодно продолжать своё существование и иметь с этого власть и прибыль, а не выполнять требования избирателей, так что сговор (не обязательно официальный) тут неизбежен: «нам всем наплевать на избирателей, просто будем изображать конкурентную борьбу и время от времени меняться у руля».
Участие обычных людей, не имеющих возможности действительно влиять на происходящее в стране, что в рыночной экономике, что в либеральной политике направляет их положение к равновесию Нэша, которое на практике может отстоять от их общего и личного блага сколь угодно далеко.
Таким образом, демократия с точки зрения математики является самопротиворечивой моделью социума, при которой велика вероятность устойчивых равновесных состояний, значительно удалённых от оптимума как для социума в целом, так и избирателей лично. Тем не менее она считается если не идеальным общественным строем, то как минимум — вспоминая Уинстона Черчилля — наилучшим.