Хорошо видно, что эта диаграмма Декарта на рис.5a оказалась похожей на квадрат диаграммы Пенроуза рис.2, только без поворота (и с единственной дугой). Если теперь эту диаграмму Декарта повернуть на 45 градусов и добавить остальные дуги, мы получим классическую диаграмму Пенроуза. При этом окажется, что бывшие прямые координатные линии превратились в изотропные нулевые геодезические, линии света, а декартовы линии света – в координатные линии диаграммы Пенроуза рис.5b. Линейные размеры, координаты новой оси r изменяются в некоторых ограниченных пределах (точнее, от –π/√2 до +π/√2), в то же время как каждой из них присваивается значение C:
Обратив внимание на то, что знак в выражении (2) соответствует ортогональным дугам, раскрыв его и подставив в выражение (3), мы получаем два уравнения конформного преобразования между координатами r-t и x-y:
Особо отметим обнаруженную интересную особенность рассмотренного метода конформных преобразований координат: поворот сетки позволяет поменять ролями сетку и нулевые геодезические. Нанесение желаемых светоподобных геодезических позволяет по ним построить, получить затем соответствующую координатную сетку. Если теперь нанести на полученную диаграмму все обозначения, соответствующие традиционной ромбовидной диаграмме Пенроуза с бесконечными границами и все дуги, мы получим диаграмму рис.2.
Здесь мы наглядно видим сущность конформного преобразования на диаграммах Пенроуза. На рис.5a вертикальные и горизонтальные прямые линии образуют нелинейную координатную сетку. Мы принимаем скорость света равной единице c = 1. Производная уравнения движения какого-либо объекта – это его скорость. Для света можно записать
Здесь производная – это тангенс угла наклона графика к вертикальной оси на диаграмме, к оси времени. Условно говоря, график движения света проходит диагонально через "квадратики" координатной сетки. Это демонстрирует линия abcde на рис.5a. Понятно, что при нелинейной градации координатной сетки "квадратики" условны, визуально все они являются прямоугольниками. Тем не менее, график света всё равно проходит диагонально через эти прямоугольники. То есть, линия abcde является линией света. В таком виде она, во-первых, не выглядит конформной, наклонённой под 45 градусов, а, во-вторых, сильно искривлена. Однако между этой линией и координатной сеткой есть однозначная связь: в каждом "квадратике" конформность и прямолинейность линии просматривается отчётливо.
Для нас, в сущности, не имеет значение, как выглядит координатная сетка, для нас важно, чтобы линии света были конформными, изотропными. И здесь следует отметить гениальную догадку Картера-Пенроуза. Они заметили, что координатная сетка выглядит как изотропные линии света, если за оси координат взять диагональные линии. Для этого нужно просто повернуть квадрат на 45 градусов – рис.5b. Теперь бывшие ранее координатной сеткой линии все стали выглядеть как изотропные линии света. Все они наклонены под 45 градусов и строго прямолинейны.
Бывшие ранее линиями света криволинейные линии, в частности, линия abcde сохранили строго однозначную связь с теперь уже прямолинейными линиями, которые теперь можно считать линиями света. То есть, эту криволинейную сетку мы можем, соответственно, рассматривать как координатную. Поставленный на диагональ квадрат теперь отвечает главному требованию: диагональные линии на нём стали изотропными линиями света. Они прямолинейны и имеют угол наклона в 45 градусов.
2
M
-диаграмма Пенроуза
Из полученной диаграммы мы так же можем сформировать и так называемое максимально расширенное решение Шварцшильда для вечной Чёрной дыры – рис.14 и рис.6f, содержащее сингулярности и параллельную Вселенную. Для этого необходимо заменить обозначения r = ‑∞ на r = 2m. Понятно, что на оси i0i0 значения r = const также следует заменить на соответствующие. Диаграммы с левым значением 2m назовём 2M-диаграммами Пенроуза.
На диаграммах этого вида сразу же обнаруживается противоречие: на такой диаграмме невозможно корректно произвести разметку координатных линий времени. Иначе говоря, на диаграммах с левым горизонтом событий r = 2m равномерная шкала времени t = const становится невозможна. В первую очередь это связано с тем, что разметка линий r = const потребовала специфического подхода: шаг, расстояние между двумя линиями r = const на всём протяжении диаграммы неизменным сделать невозможно.