Однако по дошедшим до нас предметам (помимо доски было найдено 7 белых и 7 черных фишек из перламутра и сланца и 6 игральных костей в форме правильной треугольной пирамиды) можно заключить, что целью игры было провести все фишки по доске быстрее соперника. Интересная форма доски из 20 клеток — два прямоугольника 3 × 2 и 3 × 4 соединены прямоугольником 1 × 2 — позволяет предположить, каким путем нужно было провести фишки по доске.
Доска для игры урских царей. На рисунке обозначены первые ходы каждого игрока.
Для вычислений с дробями используются только так называемые египетские дроби, числитель которых равен единице, а знаменатель — натуральному числу. Этот любопытный способ вычислений, придуманный египтянами, в разное время изучали выдающиеся математики. Среди них Леонардо Пизанский, именуемый Фибоначчи (1175—1250), один из величайших математиков Средневековья. Именно он первым доказал осуществимость этого метода. Англичанин Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897) открыл новые способы выражения дроби в виде суммы единичных дробей. Венгерский математик Пол Эрдёш (1913—1996), автор наибольшего числа статей среди математиков современности, проявлял особый интерес к теории чисел и сформулировал несколько открытых задач о египетских дробях, предложив собственные решения некоторых из них.
Игры и математика в Средневековье
Изложив лишь некоторые наиболее интересные факты из древней истории взаимоотношений игр и математики, перенесемся в XIII век. Именно тогда жил Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (1175—1250), автор «Книги абака» (1202), где впервые в истории западного мира была представлена десятичная позиционная система счисления. В этой книге описана известная задача о размножении кроликов, в которой фигурирует интересная последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., получивших название чисел Фибоначчи. Закономерность для чисел Фибоначчи крайне проста (первые два члена ряда равны 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих), но этот ряд обладает удивительными свойствами. Так, он связан с числом Ф, описывающим золотое сечение. Ф = (1+у√5)/2 является пределом последовательности an/an-1 при n, стремящемся к бесконечности, где an — член последовательности Фибоначчи.
В одном из своих основных трудов Liber quadratorum («Книга квадратов»), опубликованном в 1225 году, Фибоначчи описывает математический турнир, прошедший при дворе короля Сицилии Федериго II, на котором он нанес поражение Иоанну Палермскому. На этих интеллектуальных турнирах, проводимых в подлинно средневековом стиле, каждый участник должен был предложить сопернику определенное число задач. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач за меньшее время. При этом должно было выполняться еще одно условие: участник, предложивший задачу, должен был знать ее решение. Одна из задач, упомянутых Фибоначчи, формулируется так: нужно найти такое число, что если прибавить или вычесть из его квадрата 5, то в обоих случаях результатами также будут квадраты. Любопытно, что число 1225, совпадающее с годом публикации «Книги квадратов», является квадратом. Это единственный год жизни Фибоначчи, обладающий подобным свойством: предыдущим квадратом является 1156, а следующим — 1296.
Примерно в то же время арабский писатель и ученый Ибн-Халликан первым изложил знаменитую легенду об изобретателе шахмат, «Историю Сисса бен Дахира и индийского короля Ширхама» (1256). По легенде, Ширхам так полюбил игру в шахматы, придуманную Сиссой бен Дахиром, что разрешил ему выбрать себе любой подарок, какой тот пожелает. Сисса попросил короля положить пшеничное зернышко на первую клетку доски, 2 — на вторую, 4 — на третью, 8 — на четвертую и так далее до клетки 64, каждый раз удваивая число зерен. Правитель посчитал эту просьбу слишком скромной, но затем увидел, что ему никогда не удастся выполнить ее. Действительно, 20 + 21 + ...+ 262 + 263 = 264 - 1 = 18446744073709551615, что в разы превышает весь годовой урожай пшеницы во всем мире.
Страница из«Книги абака» Фибоначчи.
Также в XIII веке, точнее в 1283 году, согласно повелению короля Альфонсо X Мудрого была написана «Книга игр» (Libro de los juegos). Хотя в ней больше внимания уделяется играм, чем математике, она содержит интересный анализ типов игр (как азартных, так и стратегических), популярных в то время, а также все знания, накопленные на тот момент относительно выигрышных стратегий для этих игр. Помимо шахмат и различных азартных игр, в этой книге описывается алькерк — «стратегическая» игра, то есть та, в ход которой не вмешивается случай. Это старейшая из известных нам игр такого типа.