n! = n(n - 1)(n -2) · ... · 3 · 2 · 1,
то есть является произведением всех натуральных чисел, меньших или равных л. Факториал — чрезвычайно быстро растущая функция, как видно из следующей таблицы.
| n | n! |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3628 800 |
| 100 | 9,3326215444 · 10157 |
| 1000 | 4,0238726008 · 102567 |
| 10000 | 2,8462596809 · 1035659 |
| 100000 | 2,824229408 · 10456573 |
Факториал определен только для натуральных чисел; последовательность факториала прерывна. Интерполировать факториал означает продлевать его, пока не найдется непрерывная функция f(x) которая равна n!, когда значение х равно значению натурального n.
Почти банальным примером является понятие квадрата числа. Пусть дано натуральное число n, его квадрат будет равен n2 = n · n. Его можно интерполировать на любое вещественное число х, просто записав f(x) = х2. Эйлер интерполировал факториал n! и в 1729 году нашел непрерывную функцию f(x), которая вела себя как факториал, когда x = n был натуральным числом. Мы будем называть ее Г(х), что, собственно, и является ее современным обозначением. Эйлер определил значение
Г(x) в каждой точке посредством того, что сегодня мы бы назвали пределом:
Г(x) = limn→∞(n!nx)/(x (х+1)(х+2)...(х+n).
Сейчас вместо этого выражения используется интегральный вид:
Г(x) = ∫0∞ е-ttz-1dt.
Он более прост, с ним легче работать, и к тому же он действителен в области комплексных чисел. При глубоком изучении Г(х) из нее можно получить огромное количество интереснейших для математиков формул, например
Г(1 - z)Г(z) = π/sin(πz),
которая связывает гамма-функцию с числом π и тригонометрическими функциями.
Определить Г(х) можно разными способами. В XIX веке была особенно популярна формула Карла Вейерштрасса (1815-1897), в которой используется постоянная Эйлера (она обозначается буквой у" тоже "гамма", но строчная):
Г(z) = e-γz/z ∏n=1∞(1 + z/n)-1ez/n
Для этой функции верно:
Г(1)=1
Г(1 + х) = хГ(х).
При помощи гамма-функции выводится знаменитая формула Стирлинга (1692-1770), которая считается образцом красоты символов, поскольку в ней гармонически сочетаются постоянные π,е и число n:
n! = √(2πn)(n/e)n
И наконец, скажем о связи между гамма и дзета-функцией ξ(z). Последняя имеет огромное значение в теории чисел, в частности в интереснейшей области простых чисел:
ξ(z)Г(z) = ∫0∞tz-1/(et-1)dt.
Изучая гамма-функцию, Эйлер натолкнулся на еще одну, получившую название "бета" и обозначенную буквой В. Она также очень полезна в области анализа, и ее можно определить разными способами. Один из них — с помощью интеграла:
при условии, что действительные части х и у являются положительными. Еще один способ состоит в использовании гамма-функции, которую мы определили выше:
В(х,у) = Г(x)Г(y)/Г(x+y).
После изучения гамма- и бета-функций Эйлер занялся теорией чисел, вдруг резко изменив направление своей научной работы, что было для него весьма характерным. В частности, его привлек вопрос, который за век до того оставил нерешенным французский ученый Пьер Ферма (1601-1665).
Дзета-функция — королева всех математических функций, она привлекает наибольшее внимание специалистов, и ей посвящено наибольшее количество сайтов в интернете. Ее название происходит от греческой буквы ξ (дзета), и в первый раз ее использовал Эйлер в решении так называемой Базельской задачи, принесшей ему известность. Эйлер доказал, что бесконечная сумма обратных квадратов равна π2/6: