- Послушай, Кэкэ, - прервал молчание Дорожная Пыль, - ты вот мне рассказывал, как аксиомы создают новые миры-модели. А мы сами, и эта брусника, и ее вкус, и этот запах смолы нагретого леса, и теплый гранит – это всё следствие аксиом?
- Разумеется. Это очень сложная система аксиом; к тому же, она развивается. Тот мир, в котором мы сейчас нежимся на солнышке, в это мгновение возможно вбирает в себя какую-то недоказуемую истину или ее отрицание и изменяется, становясь более сложным.
- А как работает этот процесс развития? Кто формирует, задаёт, какие недоказуемые истины включать?
- Чтобы объяснить это, надо начать издалека, так что наберись терпения… – Кэкэ сел поудобнее, оперевшись спиной на теплый гранит скалы. - Значит, так. Когда первые теории были хорошо формализованы и появились первые компьютеры, у некоторых горячих парней возникла естественная идея написать программу, которая вместо человека доказывала бы теоремы теории. Как известно, дураки мыслят одинаково, поэтому такая идея захватила этих ребят; я был в их числе, и в качестве объекта эксперимента была выбрана математическая логика. Необходимые программы были написаны и запущены; началось автоматическое доказательство теорем. Мы потирали руки: скоро истины логики повалятся на принтер, и мы подобно инженеру Гарину будем всем этим овладевать и овладевать. Но не тут-то было! Теоремы, которые доказывались автоматически, были абсолютно правильными, но, скажем так, глупыми. Это были банальные истины, не лежащие на магистральных путях развития логики. Через некоторое время стало ясно: для продуктивной работы необходимо знание о направлениях развития и ключевых проблемах логики.
- Подожди Кэкэ, - Дорожная Пыль щелчком сбил муравья с ноги. - Почему автоматическое доказательство теорем всегда не продуктивно? В чём причина? Это совершенно непонятно.
- Видишь ли, для учёных главным и самым интересным итогом развития знания является незнание. Это означает, что самым главным для них является возможность сформулировать новые принципиальные вопросы незнания. Так вот, перевод знания в незнание не поддается формализации и является исключительной прерогативой человека. Именно знание незнания позволяет делать продуктивный отбор истин.
- Но... Пройдёт время, мы поймём, как человек переходит от знания к незнанию, добавим это к автоматическому доказательству - и всё. Что значит: "не поддаётся формализации"? Не поддаётся сейчас.
- Нет. Ты меня совсем не понял. Развитие знания при автоматическом доказательстве идёт от знания к знанию. Это означает, что на основе уже доказанных фактов теории получают новые факты - и никак иначе. При этом автоматическое доказательство никогда не выходит в своем познании за пределы теории.
Человек действует совершенно иначе. Его схема: от знания к незнанию - и от незнания к знанию. Это касается не только математики, но и всех наук. Когда исследователь переходит от знания к незнанию, он использует потрясающую способность человека формулировать почему-вопросы. Как он умудряется из бесконечной череды возможностей выбирать значимые почему-вопросы, не понятно. Возможно, когда-нибудь это станет понятно, но это сейчас не важно. Важно вот что.
Делая это, он использует всю имеющуюся у него информацию: о теории, о боге, свои представления о красоте и гармонии и ещё чёрт знает о чём. Это не просто каприз, привычка или ещё что-то. Помнишь, я на скале говорил тебе о том, что важнейшая информация о теории зачастую может быть получена только извне теории? Мы заранее не знаем, какие именно сведения извне могут потребоваться, поэтому у человека в дело идёт всё. И получается, что переход от знания к незнанию всегда находится вне теории. Понимаешь? Всегда! Когда незнание получено и почему-вопросы сформулированы, всё встаёт на свои места. Человек становится лучшей машиной по отбору эффективных путей решения.
Вот тут автоматическое доказательство ему очень не повредит и даже наоборот, освободит от рутины. Оно подсовывает ему истинные факты, а он говорит: "Это важно, это ерунда, это интересный путь, надо попробовать". Итак, только сочетание автоматического доказательства и человека позволяет добиться необходимой эффективности. Разумеется, это касается и всех других наук.
Но! – Кэкэ сделал эффектную паузу, подняв указательный палец вверх. - Как правило, понимание основных проблем развития какой-либо отрасли знания, основных направлений движения вперёд представляет собой квинтэссенцию данной науки и является уделом величайших. Именно они обычно, уходя с пьедестала, формулируют эту информацию в виде «проблемы Гильберта», «гипотезы Пуанкаре», «проблемы Биркгофа». Я хочу, чтобы ты понял: знание о магистральных направлениях развития теории и её актуальных проблем лежит вне теории и не может быть выражено полностью в терминах самой теории. Это знание «над теорией», знание для курилки учёных. Так получается, что самое главное в теории находится вне теории. Смекаешь?
Теперь вернёмся к мирам. В силу неполноты, лежащей в основе любого мира, необходимо его развитие в виде добавления новых аксиом из числа недоказуемых истин. При этом, как мы уже установили, мир делится на два несовместимых мира. Эта несовместимость является следствием того, что в одном мире справедлива новая аксиома, а в другом – ее отрицание. Если подобное развитие будет происходить механически, то количество миров будет увеличиваться фантастически быстро, а изменения в этих мирах, как и при автоматическом доказательстве теорем, будут непродуктивными. Необходимо обеспечить целенаправленный выбор, ведущий к «содержательным мирам».
Так появляется необходимость в живых существах и, в конце концов, в человеке или ему подобных разумных существах.
- Но как, Кэкэ, человек может выбрать для мира новую аксиому? Он же не бог. К тому же, людей много. Знаешь, что они вместе навыбирают? Что-то типа моей помойки.
- Вот именно! Вот именно, дорогой мухолог и опарышевед! Суть дела в том, что сам человек является миром - и не одним. Его выборы формируют его мир, а через него внешний мир. Это не поэтическая метафора. Но об этом чуть позже, а пока поговорим вот о чём.
Что такое выбор аксиомы человеком? Фактически это принятие решения, которое он ещё не принимал, для которого нет шаблона. Как человек принимает решение? На основе опыта, то есть на основе тех выборов, которые он уже делал. Вместе с эмоциональной составляющей, которая формирует значимость того или иного выбора для человека, мы получаем некоторую систему, развивающуюся и накапливающую опыт выборов целенаправленным способом.
Например, злой человек принимает злобные решения и формирует свой мир в определенном направлении. В итоге получается направленное формирование мира путем взаимосвязанных выборов. Это как автоматическое доказательство теорем вместе с профессионалом.