y = a(ex/a + e-x/a)/2.
Рис. 1
Эта функция выражается через одну из элементарных функций, а именно y = a ch(x/a).
Второе замечательное свойство цепной линии обнаружил в 1744 г. Л. Эйлер. Он искал такую кривую, проходящую через две заданные точки, чтобы поверхность вращения ее вокруг заданной прямой имела бы наименьшую площадь по сравнению с площадями поверхностей, полученных вращением других кривых, проходящих через эти точки. Оказалось, что такой кривой является цепная линия; соответствующая поверхность была названа катеноидом (цепеобразной). Именно такую форму принимает мыльная пленка, если ее натянуть на два кольца, расположенных на одной оси (рис. 2).
Рис. 2
ЦИКЛОИДА
Циклоида (от греческого слова kykloeides - «кругообразный») - плоская кривая. Первые исследования циклоиды проводил в XVI в. итальянский физик и астроном Г. Галилей. Позднее этой же замечательной кривой занимались другие блестящие умы: французский физик и математик Б. Паскаль, нидерландский механик, физик и математик XVII в. X. Гюйгенс, французский философ и математик Р. Декарт.
Циклоида - кривая, которую описывает точка P окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости (рис. 1). Эту окружность называют порождающей. Описывающая циклоиду точка совершает сложное движение: с одной стороны, она, как и все другие точки катящейся окружности, имеет составляющую скорости в направлении качения окружности, с другой - составляющую по касательной к окружности, поскольку, как и все другие точки окружности, равномерно вращается вокруг ее центра. Величины обеих скоростей равны, поэтому результирующий вектор скорости
Рис. 1
У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Кроме того, циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжелая материальная точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это свойство, X. Гюйгенс сконструировал часы, изображенные на рис. 2. Любопытно, что траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые «щеки», представляет из себя циклоиду.
Рис. 2
Уравнение циклоиды:
ЦИЛИНДР
Цилиндром называют фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Слово «цилиндр» происходит от греческого kylindros, что означает «валик», «каток». Рассматривают также цилиндрические поверхности, составленные из всех прямых пространства, параллельных данной прямой (оси) и удаленных от нее на данное расстояние. Составляющие цилиндрическую поверхность прямые называются ее образующими. Конечно, все образующие получаются из одной вращением вокруг оси, и цилиндр можно определить как часть пространства, ограниченную цилиндрической поверхностью и двумя перпендикулярными ее оси плоскостями (рис. 1). Полное наименование такого цилиндра - прямой круговой цилиндр. В пересечении прямой круговой цилиндрической поверхности с плоскостью, не параллельной оси, может получиться либо окружность, либо эллипс (рис. 1).
Рис. 1
Наряду с прямыми круговыми рассматривают еще и так называемые обобщенные цилиндры и цилиндрические поверхности. Пусть дана плоская фигура m (рис. 2). Параллельные между собой отрезки xx' равной длины, проведенные через все точки x фигуры m по одну сторону от ее плоскости, заполняют некоторую пространственную фигуру, которую и называют обобщенным цилиндром с основанием m и образующими xx'. Если m - круг, а образующие xx' перпендикулярны плоскости m, то как раз и получится прямой круговой цилиндр. Другой частный случай обобщенного цилиндра - призма. Она получается, если m - многоугольник.
Объем любого цилиндра вычисляется по формуле V = S·H, где S - площадь основания m, а H - высота, т.е. расстояние между плоскостями основания m и получающегося из m параллельным переносом на вектор xx' второго основания m'.
Рис. 2
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия». Ле Корбюне.
Если через все точки x плоской замкнутой кривой Г провести параллельные между собой, но не лежащие в плоскости Г прямые lx, то получится обобщенная цилиндрическая поверхность с направляющей Г и образующими lX (рис. 3). Если Г - окружность, а образующие lX перпендикулярны плоскости Г, то получится уже знакомая прямая круговая цилиндрическая поверхность. Если Г - замкнутая ломаная (граница многоугольника), то получится призматическая поверхность.
Рис. 3
Интересно, что объем пространственного тела, ограниченного цилиндрической поверхностью и любыми двумя пересекающими ее ось в точках O1 и O2 плоскостями (печной трубы, рис. 4), можно вычислить по формуле V = S1·O1O2, где S1 - площадь перпендикулярного образующим сечения.
Рис. 4
Уравнение поверхности цилиндра, у которого ось параллельна одной из координатных осей, не содержит переменной, соответствующей этой оси. Так, уравнение поверхности прямого кругового цилиндра имеет вид: x2 + y2 = R2.
ЦИФРЫ
Цифры - условные знаки для обозначения чисел.
Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее - черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.
В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом ∩ (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком черточек), число 100 - знаком
Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака-прямой клин