Теперь подумаем о другом примере оптимизации. Мы на улице, и кто-то спрашивает нас, как быстрее попасть на автобусную остановку. Ответ не может быть числом и даже списком чисел. Логичным ответом было бы объяснение дороги: куда надо идти, где повернуть и так далее. Этот тип ответа лучше всего привести к математическому описанию с помощью функции, которая дает тому, кто пользуется ею, критерий к действию в зависимости от места, в котором он находится в каждый момент пути. Задачи на оптимизацию, в которых решение — это функция, известны как вариационные проблемы, и они очень широко применяются в физике.
В 1829 году появилась короткая публикация Гаусса о проблеме вариационного исчисления в механике, в которой он ввел понятие принципа наименьшего принуждения. Под принуждением к движению Гаусс понимал ограничения, которым подвержено движение в любой физической системе. Ученый утверждал, что природа стремится сделать принуждение минимальным:
«Очень заметно, что свободные движения, когда они не могут сосуществовать с необходимыми условиями, модифицируются при родой точно так же, как математик, согласно методу наименьших квадратов, приводит к согласию наблюдения, связанные между собой необходимыми зависимостями. Можно продолжить эту аналогию, но это не является сейчас моей целью».
Идея состоит в том, что природа действует наиболее свободным способом из тех, которые возможны при наложенных ограничениях. Как видно, здесь снова появляется отсылка к одному из главных открытий Гаусса — методу наименьших квадратов.
Ученый сделал многое для того, чтобы математика могла сочетаться с физикой. В своей работе Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii («Общие принципы теоретической схемы жидкостей в состоянии равновесия») 1830 года он вновь рассмотрел вариационную задачу, связанную с определением рисунка равновесия поверхности жидкости при учете гравитации и сил капиллярности и адгезии:
«В результате деликатного и сложного исследования мы получаем состояние равновесия, которое доступно здравому смыслу и показывает адаптацию под несколько превалирующих сил в конфликте».
Снова та же самая идея принципа наименьшего принуждения, в этот раз примененного к механике жидкостей.
В рамках идей того же порядка Гаусс работал с формализацией и математическими свойствами ньютоновского притяжения, создав так называемую теорию потенциала. Именно в этом контексте появляется знаменитый закон Гаусса: «Поток в гравитационном поле через произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален общей массе, заключенной в этой поверхности», где гравитационное поле — это множество сил, которые представляют гравитацию. Этот результат сокращает до элементарных вычислений работу, которая раньше требовала специально разработанных методов.
Нельзя сказать, что на момент приезда Вебера Гаусс был далек от физики, но благодаря ему математик занялся физическими проблемами гораздо более решительно и усердно. Теперь он стремился найти ответы на вопросы техники и инженерного дела.
В 1832 году, параллельно с интересом к электричеству, Гаусс начал исследования в области земного магнетизма. Следует заметить, что сегодняшнее представление об электричестве и магнетизме как двух аспектах одного и того же явления тогда было далеко не очевидным. Инициатива участия Гаусса в изучении магнетизма принадлежала Александру фон Гумбольдту, который искал сотрудничества с ним, чтобы установить сеть точек наблюдения земного магнитного поля во всем мире. Речь идет о первой в истории попытке начать крупномасштабное наблюдение с новыми требованиями: установление общих стандартов, техник измерения, требований к точности и достоверности. Цели программы состояли в изучении распределения земного магнетизма, изменений его интенсивности со временем, склонения и наклонения, а также, что довольно амбициозно, в определении происхождения магнитного поля Земли. Уже в 1832 году Гаусс опубликовал важную работу об абсолютном измерении магнитного поля Земли под названием Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata («Измерение абсолютной интенсивности магнитного поля Земли»).
Александр фон Гумбольдт (1769- 1859) — немецкий географ, натуралист и исследователь, младший брат лингвиста и министра образования Вильгельма фон Гумбольдта. Его называют отцом современной всеобщей географии. Гумбольдт был чрезвычайно разносторонним натуралистом. Путешествия вели исследователя из Европы в Южную Америку, на территорию современной Мексики, США, на Канарские острова, в Центральную Азию. Он специализировался в самых разных областях науки, таких как этнография, антропология, физика, зоология, орнитология, климатология, океанография, астрономия, география, геология, минералогия, ботаника, вулканология и гуманизм. Гумбольдт сотрудничал с Гауссом при разработке «Атласа геомагнетизма».
Далее следуют другие важные работы 1830 года, среди которых выделяются Allgemeine Theorie Erdmagnetismus («Общая теория земного магнетизма») и «Атлас геомагнетизма», опубликованный в 1840 году совместно Гауссом, Вебером и Бенджамином Голдшмидтом, помощником Гаусса в Гёттингенской обсерватории. Содержание этих работ вызывает огромный интерес. Гаусс впервые определил магнитное поле как нечто связанное с силой притяжения магнита, но все же он говорит и о «магнитном потоке», ответственном за эти явления. Ученый смог доказать, что на Земле может быть только два магнитных полюса, и конкретизировал расположение Южного магнитного полюса (рядом с географическим Северным полюсом). Этот прогноз был очень точно подтвержден экспедицией капитана Уилкса в 1841 году. Более того, Гаусс ввел ряд новых отношений между горизонтальной и вертикальной составляющими магнитного поля в различных точках (хотя Гумбольдт довольно долго отказывался признавать их правильность).
Сотрудничество Гумбольдта и Гаусса привело к заметным результатам в изучении земного магнетизма, которые до этого были абсолютно неизвестны. Например, ученые установили, что магнитное поле со временем меняется, причем вариации значительны (до 10% в относительных величинах) и, кроме того, они происходят одновременно по всей Земле (магнитные бури). Механизм этих явлений не объяснен должным образом до сих пор. Работа 1840 года — это собрание новых исследований. Гаусс рассуждал об определении магнитного поля с помощью магнитометра — аппарата, изобретенного Гауссом и Вебером для определения горизонтальной составляющей магнитной силы. Он доказал, что определение интенсивности горизонтальной составляющей магнитной силы вместе с углом наклонения полностью определяет магнитное поле. Речь идет о первом абсолютном измерении силы, которую оказывает магнитное поле Земли на компас, — это очень слабая сила, измерение которой потребовало чрезвычайных мер предосторожности.
Место эксперимента должно было быть свободным от магнитных колебаний, из-за чего пришлось построить лабораторию, в которой не было железа и других магнитных материалов, в ней также не должно было быть ни малейшего потока воздуха. Лаборатория была сделана из дерева с помощью медных гвоздей. Гаусс изменил методы, разработанные Гумбольдтом, сократив необходимое время наблюдения и увеличив точность, что вызвало спор между учеными, поскольку Гумбольдт не был уверен в том, что Гаусс предпринял необходимые меры предосторожности, и сомневался в справедливости результатов.