Находчивые древнегреческие математики предложили доказательство нерациональности sqrt(2), пользуясь методом от противного, который состоит в том, чтобы предположить противоположное тому, что мы хотим доказать, и прийти к логическому противоречию. Предположим, что sqrt(2) рационально, то есть его можно выразить с помощью некоторой дроби p/q. Теперь предположим, что дробь невозможно сократить, то есть что р и q — взаимно простые. Иначе было бы достаточноразделить оба элемента дроби на наибольший общий делитель. Так как sqrt(2) = p/q, получается, что, если возвести в квадрат оба члена, то 2 = p²/q², значит, 2q² = p², то есть р² — это четное число, и, следовательно, таким же является р. Так как р — четное число, то существует натуральное число k, такое, что р = 2k. Если подставить новое значение р в наше уравнение, получится, что 2q² = 4k². Это предполагает, что q² = 2k², то есть q -— также четное. Но это означает, что нашу исходную дробь можно сократить, а это противоречит условиям, следовательно, предположение, что sqrt(2) — рациональное число, ложно.
Столкнувшись с невозможностью выразить такие числа, как sqrt(2), в виде дроби, математики назвали их иррациональными. Несмотря на сложности, связанные с их точной записью, иррациональные числа имеют реальное значение, поскольку их можно представить как точки на числовой прямой. Число sqrt(2) находится между 1,4 и 1,5, и если построить прямоугольный треугольник, катеты которого будут равны 1, мы знаем, что его гипотенуза равна sqrt(2) по теореме Пифагора. Множество чисел, в которое включались бы и рациональные, и иррациональные числа, назвали действительными числами, и они представлены на числовой прямой.
Проблема поиска корней многочлена усложнялась, когда речь шла о том, чтобы найти решения таких с виду простых уравнений, как х² + 1 = 0. Казалось очевидным, что ни одно число, возведенное в квадрат, не может дать в результате отрицательное число, каким бы ни было исходное число, положительным или отрицательным. Итак, пришлось создать новый тип чисел, которые позволили бы решить уравнения этого типа. Новое число, sqrt(-1), было названо мнимым числом и обозначено как г. Создание, казалось бы, из ничего, решения для этого уравнения кажется обманом: почему бы не признать, что у уравнения просто нет решения? Но ответ в том, что найденное решение вызвало большой прогресс арифметики и при этом оно не содержит логических противоречий. Самолеты никогда не поднялись бы в воздух, если бы инженеры не пользовались мнимыми числами. Итак, если мы будем использовать новое обозначение и решим уравнение х² +1=0 как квадратный многочлен вида aх² + bх + с = 0, с помощью известной формулы
что приводит к корням i и -i, то получается, что x² + 1 = (x + r) · (x - r), в соответствии с основной теоремой алгебры.
Первым, кто активно пользовался мнимыми числами, также называемыми комплексными, был итальянский математик Джироламо Кардано (1501-1576), который применил их в формуле решения кубических уравнений, но термин «комплексные числа» был введен Гауссом при доказательстве основной теоремы алгебры в своей докторской диссертации.
Числовая прямая сформирована из рациональных чисел, представимых в виде дробей, и иррациональных, для которых такое представление невозможно. Но как распределяются оба множества на прямой? Есть ли какое-то сбалансированное распределение, которое делает возможным соседство подмножеств на числовой прямой? Чтобы ответить на этот вопрос, сделаем несколько выводов, которые могут вас удивить. Если взять два любых числа множества рациональных чисел, которое обычно обозначают Q, всегда можно найди другое рациональное число, заключенное между ними. Это достаточно очевидно. Если q1, q2, то
а это число находится между двумя предыдущими по построению. Также существует рациональное число, которое находилось бы между только что вычисленным и каким-либо предыдущим, и этот процесс можно повторять бесконечно. Итак, между двумя любыми рациональными числами существует бесконечное количество рациональных чисел независимо оттого, как близко друг от друга располагаются исходные числа. Это приводит к мысли о том, что рациональные числа находятся так близко друг от друга, как мы этого захотим. Из-за этого свойства математики говорят, что Q является плотным множеством среди действительных чисел. То есть если х — действительное число и оно является центром отрезка числовой прямой, этот отрезок обязательно содержит рациональные числа, каким бы маленьким он ни был. Остаются ли на числовой прямой промежутки для иррациональных чисел? Ответ удивляет: множество рациональных чисел имеет нулевой размер. Это означает, что если мы выберем наугад точку на числовой прямой, то вероятность того, что эта точка будет рациональным числом, равна нулю. Математики оставляют нулевую вероятность только для невозможных случаев. Удивительно, что в школьной программе так много времени посвящено овладению арифметикой множества, исчезающе малого на числовой прямой.
Кроме того, именно Гаусс увидел самые широкие возможности для применения комплексных чисел в будущем. Также Гаусс ответил и на другой вопрос: понадобится ли математикам создавать новые числа для каждого нового уравнения? Если бы мы захотели решить такое уравнение, как х4 + 1 = 0, нужно ли искать новые числа? Гаусс доказал, что в этом нет необходимости: пользуясь числом i, математики могут решить любое полиномиальное уравнение. Его решением будет сочетание обычного действительного числа и нового числа i. Гаусс открыл, что мнимые числа — это просто добавление нового измерения к обычной числовой прямой, поэтому каждое мнимое число соответствует точке на плоскости — так же, как действительное число соответствует точке на прямой. Кроме того, ученый создал новый способ представления чисел с помощью координатной оси, как показано на рисунке.
Так, мнимое число z имело бы вид а + bi, как точка с координатами (a, b) на плоскости, что показано на рисунке. Ось R используется для действительной части, а ось I — для мнимой. Кроме того, Гаусс снабдил комплексные числа арифметикой, которая позволила бы проводить с ними все виды операций.
Несмотря на то что речь шла об очень эффективном представлении, Гаусс держал в секрете эту карту мира мнимых чисел. Как только доказательство было обнаружено, ученый убрал графические «леса», так что от них не осталось и следа. При этом он осознавал, что математики часто смотрят на графики с некоторым подозрением, отдавая предпочтение языку формул и уравнений, поскольку в то время существовало мнение, что графики могут быть ошибочными. Гаусс знал, что графическое представление мнимых чисел вызовет недоверие, поэтому исключил его из доказательства, которое сразу же стало довольно непонятным для современников. Непонятным настолько, что в некоторых книгах по истории науки говорится, что первое доказательство теоремы, предложенное математиком, было ошибочным, хотя вернее было бы сказать — неполным. И пробел находится в том варианте доказательства, которое было опубликовано, а не в том, которое Гаусс вывел для себя.
Комплексные числа имеют алгебраическую структуру поля с операциями суммы и произведения. Сначала дадим им определения и покажем, что это внутренние операции, то есть что мы получаем комплексные числа, когда оперируем ими.
— Сумма:
(a + bi) + {c + di) = a + c + (b + d) i.