На этом этапе математика кажется неразрывно связанной с повседневной реальностью. Счет и ведение учета – прикладные инструменты земледельца и торговца, и если эти методы справляются со своей задачей, какая разница, что за концепция лежит в их основе? Простая арифметика неотделима от того, что происходит вокруг нас: овца плюс овца – две овцы, две овцы плюс две овцы – четыре овцы. Казалось бы, чего проще? Но стоит задуматься, и вы поймете, что уже произошло нечто странное. Говоря “овца плюс овца”, мы предполагаем, что овцы одинаковы или, по крайней мере, что различия между ними при подсчете не имеют значения. Но овца овце рознь. То есть мы отделили от овец то качество, что объединяет их и отличает от других объектов, а затем произвели над ним действия при помощи другой абстракции, которую мы называем сложением. Это серьезный шаг. На практике, чтобы прибавить одну овцу к другой, бывает достаточно просто пустить их пастись на одно поле. Но из той же практики мы знаем, что все овцы разные, а если копнуть глубже, то, что мы называем “овцой” (как и все остальное, что нас окружает), – неотъемлемая часть вселенной. Вдобавок к этому немного тревожит тот факт, что воспринимаемое нами как объекты окружающего мира (возьмите хоть тех же овец) на деле лишь порождения нашего разума, вызванные к жизни сигналами, воздействующими на органы чувств. Даже если предположить, что овца существует объективно, из физики нам известно, что это сложнейшая временная совокупность находящихся в постоянном движении элементарных частиц. И тем не менее, считая овец, мы способны каким-то образом игнорировать все эти сложности или, точнее, даже не отдавать себе в них отчет в повседневной жизни.
Египтяне хорошо владели практической математикой и с успехом применяли ее при строительстве пирамиды Хефрена в Гизе, изображенной на фото вместе с Большим сфинксом.
Из всех дисциплин математика – самая точная и незыблемая. Естественные науки и другие области человеческой деятельности представляют собой в лучшем случае некоторое приближение к идеалу, постоянно изменяются и эволюционируют. Как заметил немецкий математик Герман Ганкель, “в большинстве наук новое поколение разрушает созданное предыдущим; установленное одним отменяется другим. Только в математике каждое поколение достраивает новый этаж к прежнему зданию”. Это ее отличие от всех других наук неизбежно, оно заложено в самой ее сути – ведь математика начинается с того, что разум извлекает из данного нам в ощущениях только те знания, которые он определяет как наиболее фундаментальные и неизменные. Это приводит к появлению таких понятий, как натуральные числа, сложение и вычитание, позволяющих измерять количество объектов, увеличивать и уменьшать его. Абстрактное понятие количества (“один”, “два”, “три” и так далее) воспринимается как общий признак разных наборов объектов, независимо от того, что это за объекты и насколько сильно отличаются друг от друга отдельные объекты одного типа. Поэтому такое качество, как непреложность, незыблемость, присуще математике изначально и является важнейшим ее достоинством.
Математика существует – в этом никто не сомневается. Скажем, теорема Пифагора – она ведь как-никак часть нашей реальности. Но вот где она существует тогда, когда не используется и не воплощается в какой-то материальной форме, и где она существовала раньше, тысячи лет назад, до того, как пришла кому-то в голову? Платоники считают, что математические объекты, такие как числа, геометрические фигуры и отношения между ними, существуют независимо от нас, наших мыслей, языка и физической вселенной. Они, правда, не уточняют, в каких таких неземных сферах обитают эти объекты, но убеждены, что те каким-то образом реально существуют. Большинство математиков, надо признать, разделяют эту точку зрения, а значит, считают, что математические истины открывают, а не изобретают. Справедливо, впрочем, и то, что большинству математиков, скорее всего, нет дела до всей этой философии – их вполне устраивает просто заниматься наукой, точно так же как большинство физиков, как работающих в лаборатории, так и решающих теоретические задачи, вряд ли волнуют проблемы метафизики. И все же постижение истинной природы вещей – в нашем случае математических объектов – занятие интересное, пусть даже нам не суждено найти окончательного ответа. Прусский математик и логик Леопольд Кронекер считал, что человеку были даны только целые числа: по его выражению, “целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих”. Английский астрофизик Артур Эддингтон пошел еще дальше, сказав: “Математики не существует, пока мы ее не создаем”. Наверняка люди и дальше будут спорить о том, что же такое математика – открытие, изобретение или, возможно, сочетание первого и второго, порожденное синергизмом разума и материи. Вряд ли на этот вопрос есть простой ответ.